Анотація до роботи:

Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних розподілів. — Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальністю 01.01.05 — теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України. Київ, 2004.

Дисертація присвячена дослідженню структури (вмісту дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент), тополого-метричних і фрактальних властивостей згорток сингулярних розподілів сум випадкових рядів спеціального виду.

Досліджується розподіл випадкової величини, що є узагальненням згортки розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами, та згортки розподілів сум випадкових рядів з певними обмеженнями на члени ряду. Для обох вказаних розподілів знайдено умови дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності розподілу; повністю досліджено топологічні та метричні властивості спектрів, знайдено формули для обчислення їх міри Лебега та розмірності Хаусдорфа-Безиковича; у випадку сингулярності розподілу знайдено необхідні і достатні умови належності його до кожного з чистих типів сингулярних розподілів. Обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича згортки розподілів сум випадкових рядів спеціального виду. Показано, що довільна випадкова величина з незалежними двійковими цифрами може бути представлена у вигляді суми випадкових величин з аномально фрактальними розподілами.

В дисертації отримано такі основні результати:

1. Користуючись методом характеристичних функцій, знайдено достатні умови сингулярності розподілу випадкової величини , що є узагальненням суми двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами.

2. Знайдено достатні умови абсолютної неперервності розподілу випадкової величини .

3. Повністю досліджено топологічні та метричні властивості спектра випадкової величини , що є узагальненням суми двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами. Знайдено формули для обчислення його міри Лебега та розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

4. Знайдено необхідні і достатні умови належності сингулярного розподілу до кожного з чистих типів сингулярних розподілів.

5. Показано, що довільна випадкова величина з незалежними двійковими цифрами може бути представлена у вигляді суми двох аномально фрактальних випадкових величин.

6. Знайдено необхідні і достатні умови дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності розподілу, що є згорткою розподілів сум випадкових рядів.

7. Обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича розподілу (під розмірністю ймовірнісного розподілу розуміється інфімум розмірностей всеможливих множин, на яких зосереджений розподіл) згортки розподілів сум випадкових рядів та її компонент.

8. Описано спектр розподілу, що є згорткою розподілів сум випадкових рядів, знайдено формули для обчислення його міри Лебега та розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

9. Знайдено критерії належності сингулярного розподілу, що є згорткою розподілів сум випадкових рядів, до кожного з чистих сингулярних типів розподілу.

Сисок опублікованих праць за темою дисертації:

1. Гончаренко Я.В. Згортка двох сингулярних розподілів: салемівського і канторівського // Фрактальний аналіз та суміжні питання. — К.: Інститут математики НАНУ - НПУ імені М.П.Драгоманова. — 1998. – № 1. — С. 88-90.

2. Гончаренко Я.В. Поведінка модуля характеристичної функції аномально фрактального розподілу на нескінченності // Фрактальний аналіз та суміжні питання. — К.: Інститут математики НАНУ - НПУ імені М.П.Драгоманова. — 1998. — № 2. — С. 142-148.

3. Гончаренко Я.В., Скуратівський Р.В. Структура і фрактальні властивості розподілу випадкової величини, трійки послідовних двійкових цифр якої утворюють складений ланцюг Маркова // Фрактальний аналіз та суміжні питання. — К.: Інститут математики НАНУ - НПУ імені М.П.Драгоманова. — 1998. — № 2. — С. 149-156.

4. Гончаренко Я.В. Мультифрактальні множини і розподіли ймовірностей // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. — 1999. — № 1. — С. 228-233.

5. Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Гончаренко Я.В. Сучасні задачі та проблеми сингулярних розподілів ймовірностей // Наукові записки. Зб. наук. статей НПУ імені М.П.Драгоманова. — К.: НПУ, 2001. — Вип. 42. — С.18-20.

6. Albeverio S., Gontcharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Convolutions of distributions of random variables with independent binary digits. — Preprint SFB-611, Bonn, 2002. — № 23. –– 20p.

7. Гончаренко Я.В., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Тополого-метричні та фрактальні властивості згортки двох сингулярних розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами // Теор. ймов. та мат. стат. — 2002. — Вип. 67. — С.9-13.

8. Гончаренко Я.В., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Фрактальні властивості множин точок недиференційовності абсолютно неперервної та сингулярної функцій розподілу // Теор. ймов. та мат. стат. — 2002. — Вип. 65. — С.27-34.

9. Гончаренко Я.В. Асимптотичні властивості характеристичної функції випадкової величини з незалежними двійковими цифрами та згортки сингулряних розподілів ймовірностей // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. — 2002. — № 2. — С. 376-390.

10. Гончаренко Я.В., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Критерії сингулярності та абсолютної неперервності випадкової величини в термінах ймовірності суттєвого носія щільності // Вісник НПУ імені М.П.Драгоманова. — К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2002. — Випуск 1. — С.156-158.

11. Albeverio S., Gontcharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal properties of the distributions of some class of random variables of the Jessen-Wintner type. — SFB, Bonn, 2003. — 26 p.

12. Гончаренко Я.В. Згортки розподілів сум випадкових рядів спеціального виду // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. — 2003. — № 3. — С. 290-305.

13. Гончаренко Я.В. Властивості згортки сингулярних розподілів Салема і Кантора // Сьома Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 14-16 травня 1998 р., Київ. Матеріали конференції. — Київ, 1998. — С.118.

14. Yanina V. Gontcharenko The characteristic function of anomalously fractal distribution // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics, June 8-12, 1999 — P.48.

15. Гончаренко Я.В. Моделювання неоднорідних середовищ з мультифрактальною будовою // V Всеукраїнська наукова конференція "Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики": Тези допов. — К.: НПУ, 2000. — С. 154.

16. Гончаренко Я.В. Мультифрактальні розподіли ймовірностей та фрактальні властивості суперпозиції сингулярних функцій // Восьма Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 11-14 травня 2000 р., Київ. Матеріали конференції. — Київ, 2000. — С.426.

17. Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Гончаренко Я.В. Сингулярні розподіли ймовірностей і проблеми, з ними пов’язані // Рік 2000 — Всесвітній рік Математики: Матеріали міжвузівської науково-практичної конференції. — Чернігів, 2000. — С.52-54.

18. Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних аномально фрактальних мір і фрактальні властивості фізичних систем // Фундаментальна та професійна підготовка вчителів фізики. Матеріали наукової конференції. — Миколаїв, 2001. — С. 181-187.

19. Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних розподілів ймовірностей // Український математичний конгрес. Теорія ймовірностей і математична статистика. Тези доповідей. — Київ: ІМ НАНУ, 2001. — С.8.

20. Гончаренко Я.В. Розподіли випадкових величин з незалежними двійковими цифрами та їх згортки // Дев’ята Міжнародна наукова конференцёія імені академіка М.Кравчука, 16-19 травня 2002 року, Київ. Матреіали конференції. — К., 2002. — С.419.

21. Albeverio S., Goncharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Distributions of random variables with independent s-adic digits // International Gnedenko conference, Kyiv, June 3-7, 2002. Abstracts. — Kyiv, 2002. — P.8.

22. Альбеверіо С., Гончаренко Я., Працьовитий М., Торбін Г. Тополого-метричні і фрактальні властивості множини дійсних чисел, представлених двійклвим дробом з надлишковою цифрою // Всеукраїнська конференція "Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія і методологія)", Луганськ, 23-27 вересня 2002 р. — Луганськ: Луганський державний педагогічний університет ім. Тараса Шевченка, 2002. — С.59-62.

23. Гончаренко Я. Напівгрупа випадкових величин типу Джессена-Вінтнера і проблеми сингулярності згорток сингулярних розподілів // Всеукраїнська конференція "Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія і методологія)", Луганськ, 23-27 вересня 2002 р. — Луганськ: Луганський державний педагогічний університет ім. Тараса Шевченка, 2002. — С.66.

24. Гончаренко Я.В. Розподіли випадкових величин з незалежними двійковими цифрами та їх згортки // Дев’ята Міжнародна наукова конференцёія імені академіка М.Кравчука, 16-19 травня 2002 року, Київ. Матреіали конференції. — К., 2002. — С.419.

25. Гончаренко Я.В. Згортки сингулряних розподілів випадкових величин з незалежними s-адичними цифрами // Міжнародна конференція "Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь": Тези допов., 16 грудня 2002 р., Київ. — К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2002. — С. 10.

26. Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами // Перша Міжнародна науково-практична конференція "Відкриті еволюціонуючі системи": Матеріали конференції, 26-27 квітня 2002 р., Київ. – К.: ВНЗ ВМУРоЛ, 2002. – С.143.