Анотація до роботи:

Заторський Р.А. Застосування паравизначників та параперманентів до розв’язання деяких задач комбінаторного аналізу. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.08 –– математична логіка, теорія алгоритмів і дискретна математика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертаційна робота присвячена розвязанню деяких комбінаторних задач теорії скінченних мультимножин та деяких задач про траєкторії на діаграмах Ферре і похилих діаграмах. Зокрема, розв’язано в загальному випадку задачу про число -сполучень та число -перестановок на мультимножинах і наведено ефективні алгоритми обчислення цих чисел. Дано нове комбінаторне доведення правила гаків Фрейма-Робінсона-Тролла для обчислення числа стандартних таблиць Юнга та формули для обчислення числа цих таблиць за допомогою визначників Вандермонда.

Розв’язання ряду наведених вище задач вимагає побудови нових функцій трикутних матриць – паравизначників та параперманентів. У роботі досліджуються їх властивості та розглядаються їх застосування до розв’язання лінійних рекурентних рівнянь довільного порядку та встановлення нових оцінок збіжності періодичних та мішаних періодичних неперервних дробів. При допомозі паравизначників та параперманентів встановлено функціональні залежності між елементами числових послідовностей, породжених лінійними рекурентними рівняннями довільного порядку та досліджено теоретико-числові властивості лінійних рекурентних рівнянь другого порядку.

У дисертаційній роботі розв’язано в загальному випадку задачі про обчислення числа сполучень та числа перестановок для довільних мультимножин та побудовано ефективні алгоритми обчислення цих чисел. У зв’язку з обчисленням числа сполучень для мультимножини узагальнено трикутник Паскаля. Підраховано кількість траєкторій у двох важливих класах траєкторій на похилих діаграмах. Дано нове комбінаторне доведення правила гаків Фрейма-Робінсона-Тролла для обчислення числа стандартних таблиць Юнга та виведено формулу для обчислення числа цих таблиць за допомогою визначника Вандермонда.

Введено нові функції трикутних матриць, аналогічних до класичних функцій прямокутних матриць – визначників та перманентів, досліджено їх властивості. Продемонстровано можливі застосування цих функцій до розв’язання ряду задач комбінаторного аналізу, теорії неперервних дробів та теорії чисел. Зокрема встановлено нові оцінки збіжності періодичних та мішаних періодичних неперервних дробів.

Розроблено новий спосіб розв’язання лінійних рекурентних рівнянь довільного порядку за допомогою параперманентів і встановлено функціональні залежності між елементами числових послідовностей, породжених лінійними рекурентними рівняннями довільного порядку. Одержано деякі нові результати про теоретико-числові властивості числових послідовностей, породжених лінійними рекурентними рівняннями другого порядку.

Публікації автора:

1. Заторский Р.А. Подсчет –подмультимножеств через их вторичные спецификации // Комбинаторный анализ. Вып.7 / Под ред. К.А. Рыбникова. – М.: МГУ, 1986. – С. 136-145.

2. Заторський Р.А. Про число сполучень на мультимножинах // Вісник КНУ, Серія: фіз.-мат. науки. – 2000. – Вип.3. – С. 42-47.

3. Заторський Р.А. Про деякі комбінаторні задачі на мультимножинах // Матеріали IX Міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука. – К: НТУУ (КПІ). – 2002. – С. 426.

4. Заторський Р.А. Про число стандартних таблиць Юнга похилих діаграм. // Вісник КНУ. Серія: фіз.-мат. науки. – 2000. – Вип. 4. – С.24-33.

5. Заторський Р.А. Паравизначники та параперманенти трикутних матриць // Математичні студії. – 2002 . – Т.17. – №1. – С.3-17.

6. Заторський Р.А. Паравизначники та параперманенти трикутних матриць // Доповіді НАН України. – 2002. – №8. – С.21-25.

7. Заторський Р.А. Параперманенти та лінійні рекурентні співвідношення // Матеріали міжнародної математичної конференції, присвяченої сторіччю від початку роботи Д.О. Граве (1863-1939) в Київському університеті. – К., 2002. – 138 с.