Анотація до роботи:

Балабушенко Т.М. Властивості розв’язків -параболiчних систем, визначених у необмежених за часовою змінною областях . – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2003.

Дисертація присвячена дослідженню властивостей в необмежених за часовою змінною t областях розв’язків -параболiчних систем, а також крайових задач для деяких конкретних рівнянь другого порядку. Для -параболiчних систем у термінах оцінок фундаментальних мат-риць розв'язків і матриць Гріна задачі Коші введені спеціальні -умови, наведені приклади класів систем, які задовольняють такі умови, встановлені інтегральні зображення та оцінки розв'язків, а також коректна розв'язність задачі Коші і задачі без початкових умов відповідно в півпросторах і , доведені теорема про стійкість розв'язків задачі Коші та теореми типу Ліувілля. Побудовані та досліджені фундаментальні матриці розв'язків поліноміальної в'язки -еліптичних систем, породженої -параболiчною системою. Для деяких конкретних рівнянь другого порядку з необмежено зрос-таючими при коефіцієнтами і виродженням при встановлені інтегральні зображення розв'язків та коректна розв'язність крайових задач Діріхле і Неймана без початкових умов.

Дисертація присвячена дослідженню властивостей в необ-межених за часовою змінною областях розв’язків -параболіч-них систем, а також крайових задач для деяких рівнянь другого поряд-ку зі зростаючими коефіцієнтами, які виникають у прикладних задачах.

Для -параболічних систем одержані такі основні результати:

введені спеціальні -умови в термінах оцінок ФМР і МГ задачі Коші;

наведені приклади класів систем як першого, так і довільних порядків, які задовольняють -умови;

встановлені інтегральні зображення та оцінки розв'язків, а також коректна розв'язність задачі Коші і задачі без початкових умов відповідно у півпросторах і ;

доведені теореми про стійкість розв’язків задачі Коші та теореми типу Ліувілля ;

здійснена побудова та одержані оцінки ФМР поліноміальної в’язки -еліптичних систем, породженої -параболічною системою.

Ці результати істотно розширюють і доповнюють відомі результати для параболічних за Петровським систем.

Крім того, у дисертації встановлені коректна розв'язність та інтегральнi зображення розв'язків крайових задач Діріхле і Неймана без початкових умов для деяких конкретних рівнянь другого порядку з необмежено зростаючими при коефіцієнтами і виродженням при .

Для обгрунтування результатів дисертаційної роботи модифіковані методи, які розроблені при дослідженні параболічних за Петровським систем.

Публікації автора:

1. Балабушенко Т.М. Про оцiнки в необмежених вiдносно часової змiнної областях фундаментальної матрицi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем // Мат.студiї.– 2002. – Т. 17, N 2. – C.163 – 174.

2. Балабушенко Т.М. Властивостi розв'язкiв -параболiчних систем в областях, необмежених вiдносно часової змiнної // Мат. студiї. – 2002. – Т. 18, N 1. – C. 69 – 78.

3. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Про властивостi розв'язкiв -параболiчних систем у необмежених за часовою змiнною областях // Мат. методи та фiз.-мех. поля.– 2002. – Т.45, N 4. – C. 19 – 26.

4. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Крайовi задачi Фур'є для рiв-няння Колмогорова дифузiйного процесу Уленбека-Орнштейна з ви-родженням // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 46. Математика. – Чернiвцi: Рута, 1999. – С. 5 – 12.

5. Балабушенко Т.М. Оцiнки фундаментальної матрицi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем у необмежених вiдносно ча-сової змiнної областях та їх застосування // Вiсник Нац. ун-ту "Львiв-ська полiтехнiка". N 411. Прикладна математика. – 2000. – C. 6– 11.

6. Балабушенко Т.М. Побудова та оцiнки фундаментальних матриць розв'язкiв полiномiальної в'язки -елiптичних систем, пород-жених -параболiчною системою // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 160. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2003. – С. 5 – 10.

7. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Крайова задача Дiрiхле без по-чаткової умови для рiвняння Колмогорова дифузiйного процесу Улен-бека-Орнштейна з виродженням // Дослiдження математичних моделей: Зб. наук. пр. – К.: Iн-т математики НАН України, 1997. – С. 21– 29.

8. Balabushenko T.М. On estimates of Green matrix of the Cauchy problem for -parabolic systems in unbounded with respect to time variab-le domains and their applications // Intern. Conf. "Nonlinear Partial Diffe-rential Equations" (Kyiv, August 22– 28, 2001): Book of abstracts. – Do-netsk, 2001. – P. 13.

9. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Про коректну розв'язнiсть задач без початкових умов для деяких параболiчних систем // Мiжнар. наук. конф. "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" (27 – 29 серпня 2001 р., Чернівці): Тези доп. – Київ, 2001. – С. 11 - 12.

10. Балабушенко Т.М. Властивостi фундаментальної матрицi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем на нескiнченному часовому iнтервалi // Мiжнар. наук. конф. "Новi пiдходи до розв'я-зування диференцiальних рiвнянь" (1 – 5 жовтня 2001 р., Дрогобич): Тези доп. – C. 9.

11. Балабушенко Т.М., Ивасишен С.Д. Свойства решений общих -параболических систем в неограниченных по временной перемен-ной областях // Дев'ята Мiжнар. наук. конф. iменi академiка М.Крав-чука (16 – 19 травня 2002 р., Київ): Матерiали конференцiї. – Київ:НТУ “КПІ”, 2002. – C. 16.

12. Балабушенко Т.М. Про властивостi розв'язкiв -параболiчних систем довiльних порядкiв в необмежених за часовою змiнною областях // Мiжнар. наук. конф. "Шостi Боголюбовськi читання" (26 – 20 серпня 2003 р., Київ): Тези доп. – С. 24.