Анотація до роботи:

Рибалко А.П. Усереднення диференціальних форм на многовидах складної мікроструктури. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

В дисертаційній роботі вивчено задачі усереднення диференціальних форм на многовидах складної мікроструктури.

Досліджено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях, коли їх род зростає. Одержано усереднену модель, що суттєво відрізняється від вихідної.

Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах, що мають складну мікроструктуру. Одержано рівняння, що описують головний член асимптотик. Знайдено усереднену задачу Коші для хвильового рівняння.

Досліджено асимптотичну поведінку розв’язків задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах спеціальної структури. Доведено, що густина електричного заряду з’являється в системі рівнянь Максвела в результаті усереднення.

В дисертаційній роботі досліджено задачі усереднення диференціальних 1- і 2-форм на многовидах складної мікроструктури. Одержано наступні результати:

1. Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм із заданими періодами на ріманових поверхнях, коли род поверхні зростає. Одержано усереднені рівняння, що описують головний член асимптотик. Побудовано моделі, де асимптотичний опис знайдено в явному вигляді. Зроблено узагальнення результату на випадок більш складної структури вихідної ріманової поверхні.

2. Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах, коли структура многовиду ускладнюється. Одержано усереднений опис таких форм. Як наслідок, отримано результат усереднення задачі Коші для хвильового рівняння на многовидах складної мікроструктури. Наведено приклад, де усереднену модель знайдено в явному вигляді.

3. Досліджено задачу Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах простору-часу. Одержано усереднену модель, що описує асимптотичну поведінку розв’язку цієї задачі, коли структура многовиду ускладнюється. Доведено, що густина електричного заряду виникає в системі рівнянь Максвела як результат усереднення. В термінах диференціальних форм цей результат дає асимптотичний опис гармонічних 2-форм із заданими періодами на псевдоріманових многовидах.

Публікації автора:

1. A.P.Pal-Val (A.P. Rybalko). Asymptotic behaviour of harmonic 1-forms on Riemannian surfaces. //Мат.физика, анализ, геометрия. – 1999. – т.6, N 3/4. – С.323-352.

2. E.Ya.Khruslov, A.P.Pal-Val (A.P. Rybalko). Homogenization of harmonic 1-forms on Riemannian surfaces of increasing genus. //Доповіді НАН України. – 2000. – N 2. – С.39-43.

3. Е.Я.Хруслов, А.П.Паль-Валь (А.П. Рыбалко). Усреднение уравнений Максвелла на многообразиях сложной микроструктуры. //Мат.физика, анализ, геометрия. – 2000. – т.7, N 1. – С.91-114.

4. А.П.Рыбалко. Усреднение гармонических 1-форм на псевдоримановых многообразиях сложной микроструктуры. // Мат.физика, анализ, геометрия. – 2004. – т.11, N 2. – С.249-257.

5. А.П.Рыбалко. Усреднение однородной системы уравнений Максвелла на римановых многообразиях сложной микроструктуры.// Тезисы докладов международной конференции "Теория функций и математическая физика", посвященной 100-летию Н.И.Ахиезера, Харьков, 13-17 августа. – 2001. – С.85-86.

6. A.P.Rybalko. Asymptotic behaviour of harmonic 1-forms on riemannian surfaces of increasing genus. // Тезисы докладов международной конференции "Обратные задачи и нелинейные уравнения", Харьков, 12-16 августа. – 2002. – С. 78.

7. А.П.Рыбалко. Усреднение уравнений волнового типа на многообразиях сложной микроструктуры. // Материалы X международной конференции им. академика М.Кравчука, Киев, 13-15 мая. – 2004. – С.216.

8. A.P. Rybalko Homogenization of harmonic forms on pseudo-Riemannian manifolds of complicated microstructure. // First Karazin Scientific Readings. Mathematical symposium. Book of abstracts. Kharkiv, June 14-16. – 2004. – P.38-39.