Анотація до роботи:

Бережний М.А. Усереднені моделі структурованих рідин. - Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика . – Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН Україні, Харків, 2009.

У дисертаційній роботі вивчаються моделі складних рідин, в яких дисперсна фаза складається з великої кількості дрібних абсолютно твердих взаємодіючих часток, і загальна в’язко-пружна поведінка є наслідком взаємодії між частками, а також в’язкості рідкої фази.

За допомогою варіаційних методів проводиться асимптотичний аналіз за малим параметром , що характеризує мікроструктуру (задає порядок відстаней між найближчими частками), при різних співвідношеннях між розмірами часток і відстанями між найближчими з них.

У залежності від розміру часток головний член асимптотик описується якісно різними моделями. При розмірах часток порядку усереднення ньютонівської рідини з частками приводить до однорідного середовища, що є анізотропною неньютонівською в’язко-пружною рідиною з пам’яттю, що описується релаксаційним членом. При цьому, в’язкість основної рідини залишається незмінною через недостатньо великий розмір часток.

У випадку критично малого розміру часток отримано усереднену двокомпонентну модель, що описує рух двох рідин (стисливої та нестисливої), що проникають одна в одну та взаємодіють між собою. Для цього критичного випадку також досліджено задачу про коливання суміші у припущенні дуже великої густини речовини часток.

Також було розглянуто задачу про асимптотичну поведінку малих коливань пружної дискретної системи та виведено рівняння теорії пружності як результат математичної процедури усереднення.

Для періодичного випадку усі усереднені моделі знайдено в явному вигляді.

Таким чином, у дисертаційній роботі розглянуто систему рівнянь, що описує малі рухи в'язкої нестисливої рідини з великою кількістю змулених у ній дрібних твердих часток, які взаємодіють між собою (лінеаризована система Нав'є-Стокса разом із системою рівнянь руху твердих тіл). Припускається, що діаметри кулястих часток, відстані між ними, величина взаємодії між найближчими частками, а подекуди й густина речовини часток залежать від малого параметра. Вивчено асимптотичну поведінку розв'язку, коли цей параметр прямує до нуля, при різних співвідношеннях між зазначеними величинами.

З'ясовано, що в залежності від розміру часток головний член асимптотик описується якісно різними моделями.

1. При розмірах часток порядку усереднення ньютонівської рiдини з частками приводить до однорiдного середовища, що є анiзотропною неньютонівською в'язко-пружною рiдиною з пам'яттю, яка описується релаксацiйним членом. При цьому, в'язкість основної рідини залишається незмінною через недостатньо великий розмір часток.

2. У випадку критично малого розміру часток отримано усереднену двокомпонентну модель, яка описує рух двох рiдин (стисливої та нестисливої), що проникають одна в одну та взаємодiють мiж собою. Для цього критичного випадку досліджено також задачу про коливання суміші у припущенні дуже великої густини речовини часток.

3. Для опису поведінки пружного каркасу у випадку часток критично малого розміру розглянуто задачу про малі коливання дискретної пружної системи, утвореної великою кількістю концентрованих мас (часток), зв'язаних між собою пружинами. Надано достатні умови на розташування часток і сили взаємодії між ними, при виконанні яких дискретна сітка допускає перехід до неперервної границі. Показано, що усереднення системи звичайних диференціальних рівнянь, що описують рухи взаємодіючих часток, приводить до рівнянь теорії пружності.

Публікації автора:

1. M.A. Berezhnyi and L.V. Berlyand. Continuum limit for three-dimensional mass-spring networks and discrete Korn's inequality. // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2006. - Volume 54. - Issue 3. - p. 635-669.

2. М.А. Бережной. Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с мелкими твёрдыми взаимодействующими частицами большой плотности. // Доповіді НАН України. - 2005. - № 7. - с. 17-21.

3. М.А. Бережной. Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с мелкими твёрдыми взаимодействующими частицами большой плотности. // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2005. - т. 12. - № 2. - с. 131-147.

4. M.A. Berezhnyi. The asymptotic behavior of viscous incompressible fluid small oscillations with solid interacting particles. // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2007. - V. 3. - №. 2. - p. 135-156.

5. M. Berezhnyi, L. Berlyand and E. Khruslov. The homogenized model of small oscillations of complex fluids. // NHM, Networks and Heterogeneous Media. - 2008. - V. 3. - № . 4 - p. 831-862.

6. М.А. Бережний. Малі коливання в'язкої нестисливої рідини з дрібними твердими частками великої густини, що взаємодіють між собою. // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки та математики ім. акад. Я.С. Підстригача. - Львів. - 24-27 травня. - 2005. - с. 124-125.

7. М.А. Бережний. Реологія в'язкої нестисливої рідини з дрібними твердими частками, що взаємодіють між собою. // Тези доповідей одинадцятої міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 18-20 травня. - 2006. - с. 27.

8. М.А. Бережной. Усреднённые модели сложных жидкостей. // Тезисы докладов конференции молодых учёных "Фізика низьких температур". - Харків. - 5-7 червня. - 2007. - с. 50.

9. M. Berezhnyi, L. Berlyand. Continuum limit for three-dimensional mass-spring networks. // Lyapunov Memorial Conference. Book of abstracts. - Kharkiv. - June 24-30. - 2007. - p. 16-17.