Анотація до роботи:

Чабанюка Я. М. Стохастична апроксимація в еволюційних системах з марковськими та напівмарковськими переключеннями"--- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 "--- системний аналіз і теорія оптимальних рішень. "--- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертацію присвячено дослідженню стійкості стохастичних систем з напівмарковським переключеннями, збіжності неперервних та стрибкових процедур стохастичної апроксимації в випадку залежної від зовнішнього середовища функції регресії, асимптотичної нормальності процедури стохастичної апроксимації в марковському та напівмарковському середовищі. У дисертації розроблено методику дослідження збіжності процедури стохастичної апроксимації, яка основана на методі малого параметру та другого методу Ляпунова стійкості усередненої системи. В випадку неперервної процедури використано усереднення функції регресії по стаціонарному розподілу марковського процесу, а в випадку стрибкової процедури -- по стаціонарному розподілу вкладеного ланцюга Маркова. Встановлено достатні умови асимптотичної нормальності процедури в схемі серій та в схемі дифузійної апроксимації, що визначають оптимальність процедури стохастичної апроксимації. Розглянуто також задачу знаходження точки максимуму функції регресії залежної від зовнішнього середовища, що описується рівномірно ергодичним марковським процесом. Встановлено умови слабкої збіжності флуктуацій стохастичної системи з сингулярним збуренням навколо єдиної точки рівноваги усередненої швидкості (функції регресії) до граничного процесу з адитивним зсувом, що описується стандартним вінерівським процесом. Показано, що якщо нульовий розв'язок усередненої швидкості існує, то до нього слабо збігається розв'язок усередненої системи.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню процедури стохастична апроксимація в еволюційних системах з марковськими та напівмарковськими переключеннями, а також вивченню стійкості еволюційних систем в напівмарковському середовищі. Розв'язність розглядуваних задач, приводить до встановлення достатній умов асимптотичної нормальності процедури стохастичної апроксимації модифікацією методики розв'язку проблеми сингулярного збурення.

Автором вперше одержано такі нові результати:

1. Отримані достатні умови стійкості динамічної системи в схемі усереднення та в схемі дифузійної апроксимації в напівмарковському середовищі через властивості функції Ляпунова для усереднених систем. Показано, що асимптотичне представлення компенсуючого оператора фактично зводить проблему стійкості системи з напівмарковськими переключеннями до аналогічної проблеми з марковськими переключеннями.

Встановлено супермартингальні властивості процесу на збурених функціях Ляпунова через асимптотику компенсуючого оператора.

Отримано оцінки залишкових членів розв'язку проблеми сингулярного збурення через функції Ляпунова для усереднених систем. Ці оцінки випливають з умов гладкості як функцій регресії так і функції Ляпунова .

2. Вперше введено і досліджено неперервну процедуру стохастичної апроксимації для функції регресії, яка безпосередньо залежить від впливу зовнішнього середовища, тобто має вигляд , де змінна описує таке середовище.

Отримано достатні умови збіжності процедур в схемі усереднення та в схемі дифузійної апроксимації в термінах існування функції Ляпунова для усередненої по стаціонарному розподілу марковського процесу системи, коли зовнішнє середовище описується рівномірно ергодичним марковським процесом. Встановлено асимптотичні властивості генераторів двокомпонентних марковських процесів процедур. Використання малого параметра серій дало можливість модифікувати розв'язок проблеми сингулярного збурення для отриманих асимптотичних розкладів генераторів. Використано новий вигляд збуреної функції Ляпунова з неоднорідністю по часу.

При цьому встановлено супермартингальні властивості процесу стохастичної апроксимації на збуреній функції Ляпунова.

3. Встановлено достатні умови збіжності неперервної процесу стохастичної апроксимації в напівмарковському середовищі в схемі усереднення та в схемі дифузійної апроксимації. Знайдено асимптотичні розклади компенсуючих операторів процедур, для яких розв'язано проблему сингулярного збурення, використовуючи функцію Ляпунова для усередненої системи по стаціонарному розподілу вкладеного ланцюга Маркова.

4. Для стрибкової процедури стохастичної апроксимації в марковському середовищі отримано достатні умови збіжності до точки рівноваги усередненої системи по стаціонарному розподілу вкладеного ланцюга Маркова. При цьому розглянуто процедури як в схемі усереднення так і в схемі дифузійної апроксимації.

5. Розроблено методику дослідження збіжності стрибкової процедури стохастичної апроксимації в напівмарковському середовищі в схемі усереднення так і в схемі дифузійної апроксимації з використанням асимптотичних властивостей компенсуючого оператора та розв'язку проблеми сингулярного збурення для нього.

6. Встановлено асимптотичну нормальність неперервної процедури стохастичної апроксимації в випадках коли вплив зовнішнього середовища описується марковськими або напівмарковськими процесами. Показано, що в умовах збіжності процедур в схемах усереднення та дифузійної апроксимації флуктуації ПСА мають стаціонарний асимптотично нормальний розподіл . Знайдено достатні умови асимптотичної нормальності ПСА, а також побудовано генератори граничних процесів, що є процесами Орнштейна-Уленбека.

Для побудови граничних операторів вперше розглянуто нову схему розв'язку проблеми сингулярного збурення з прорідженою збуреною тест-функцією відносно малого параметру .

7. Встановлено асимптотичну нормальність стрибкової процедури стохастичної апроксимації, коли зовнішнє середовища описується марковськими або напівмарковськими процесами. Показано, що в умовах збіжності процедур в схемах усереднення та дифузійної апроксимації флуктуації ПСА мають асимптотично нормальний розподіл .

8. Знайдено достатні умови асимптотичної нормальності ПСА, а також побудовано генератори граничних процесів, що є процесами Орнштейна-Уленбека.

Оскільки асимптотична нормальність є умовою оптимізації ПСА, то робимо висновок, що виконання умов теорем забезпечує оптимальність процедур.

9. Для побудови граничних операторів вперше розглянуто нову схему розв'язку проблеми сингулярного збурення з прорідженою збуреною тест-функцією відносно малого параметру . Знайдено розв'язки всіх складових збуреної тест-функції, хоча деякі з складових і не приймають участі в побудові граничних операторів. Побудова всіх складових необхідна для аналізу малості залишкового члена граничного оператора.

10. Встановлено, що дифузійний процес, який визначається розв'язком стохастичного диференціального рівняння з усередненою функцією регресії, наближає розв'язок стохастичної системи з малим параметром в схемі краще, ніж дифузійний процес, який визначається розв'язком стохастичного диференціального рівняння з градієнтною складовою усередненою функцією регресії. Знайдено розв'язок проблеми сингулярного збурення для генератора з не ціло збуреними доданками по малому параметру використовуючи проріджену по малому параметру тест-функцію.

11. Доведено теорему про збіжність неперервної процедури Кіфера-Вольфовиця пошуку точки максимуму функції регресії, що залежить від впливу зовнішнього середовища. Встановлено достатні умови збіжності процедури у випадку єдиності точки максимуму, які формулюються в термінах існування функції Ляпунова для усередненої по стаціонарному розподілу МП динамічної системи.

12. Встановлено умови слабкої збіжності флуктуацій стохастичної системи з сингулярним збуренням навколо єдиної точки рівноваги усередненої швидкості (функції регресії) до граничного процесу з адитивним зсувом, що описується стандартним вінерівським процесом.

Робота носить як теоретичний так і практичний характер. Її результати можна використати у подальших теоретичних дослідженнях властивостей процедури стохастичної апроксимації, а також у конкретних прикладних задачах знаходження точки максимуму та точки рівноваги складних стохастичних систем. Результати роботи стали джерелом нових задач вивчення поведінки флуктуацій динамічних систем з неоднорідним сингулярним збуренням.

Публікації автора:

1. Чабанюк Я.М. Стохастична апроксимація в марківському випадковому середовищі. // Прикладна математика, Вісник ДУ "ЛП". - 1998. - №346. - С. 143-156.

2. Чабанюк Я.М. Дискретна стохастична процедура у марківському випадковому середовищі. // Вісник Львів. ун-ту., Серія мех-мат.--2000. - 56.- С. 179-184.

3. Чабанюк Я.М. Дискретна процедура стахостичної апроксимації в схемі дифузійного усереднення. // Математичні студії.-Львів:-2000.-14 . - №2.-С.202-212.

4. Чабанюк Я.М., Королюк В.С. Стійкість динамічної системи з напівмарковськими перемиканнями за умов стійкості усередненої системи.// Укр. мат. жур., Київ:-2002, - 54, -№2. - С.- 195-204.

5. Чабанюк Я.М. Апроксимація дифузійним процесом в схемі усереднення. // ДАН України. - 2004. - № 12. - С. 35 - 40 .

6. Чабанюк Я.М. Неперервна процедура стохастичної апроксимації у напівмарковському середовищі. // Укр. мат. жур. - 2004.- 56, - №5.-С. 713-720.

7. Чабанюк Я.М. Процедура стохастичної апроксимації в ергодичному середовищі Маркова . // Математичні студії. - 2004.- 21, № 1.--С. 81-86.

8. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність для неперервної процедури стохастичної апроксимації в марковському середовищі. // ДАН України. - 2005.-- №11. - С. 29 -34.

9. Чабанюк Я.М. Непрерывная процедура стохастической аппроксимации с сингулярным возмущением в условиях баланса. // Кібернетика і системний аналіз.-- К.: - 2006. - №3. - С.1-7.

10. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність неперервної процедури стохастичної апроксимації в напівмарковському середовищі. // ДАН України. - 2006.-- N5.- С.23-30.

11. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність дискретної процедури стохастичної апроксимації в напівмарковському середовищі. // Укр. мат. жур. - 2006. - 58, №10. - С.1425 - 1433.

12. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність флуктуацій процедури стохастичної апроксимації з дифузійним збуренням в марковському середовищі. // Укр. мат. жур. - 2006. - 58, - №12. - С.1686 - 1692.

13. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність стрибкової процедури стохастичної апроксимації у марковському середовищі. // Вісник Чернів. ун-ту. -- Чернівці. -2007. -- № 349.- С. 128-133.

14. Чабанюк Я.М. Стійкість динамічної системи з напівмарковськими переключеннями в умовах дифузійної апроксимації . // Укр. мат. жур. - 2007. - 59, №9. - С. 1290--1297.

15. Чабанюк Я.М.Асимптотична нормальність неперервної процедури в напівмарковському середовищі в схемі дифузійної апроксимації. // Наук. вісник Ужгор. ун-ту, Серія математика, інформатика. - Ужгород. - 2007. вип. 14-15. - С. 156-164.

16. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальнiсть стрибкової процедури з дифузійним збуренням в марковському середовищі. // ТвіМ. - 2007. -- №1. - С.40-48.

17. Чабанюк Я.М. Стрибкова процедура стохастичної апроксимації в напівмарковському середовищі в схемі усереднення. // ТВіМ,- 2007. - №2, - С. 7-17.

18. Чабанюк Я.М. Непрерывная процедура стохастическойаппроксимации с полумарковскими переключениями в схеме диффузионной аппроксимации.// Кібернетика і системний аналіз. - 2007. - №4. - C. 170-178.

19. Чабанюк Я.М. Сходимость скачкообразной процедуры в полумарковской среде в схеме диффузионной аппроксимации. // Кібернетика і системний аналіз. - 2007. - №6. -- C. 124-133.

20. Y. Chabaniuk, V.S. Koroliuk, N. Limnios. Fluctuation of stochastic systems with average equilibrium point.// France Academy of Sciences. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. - 2007. - 345. - P.405 - 410.

21. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність флуктуацій стрибкової процедури у схемі дифузійної апроксимації в напівмарковському середовищі. // Вісник НУ "Львів. політехніка", Фіз.-мат. науки., Львів. - 2007. - №601, - С.67-72.

22. Чабанюк Я.М. Неперервна процедура Кіфера-Вальфовиця в марківському середовищі.// Прикладна математика, Вісник ДУ"ЛП". - 2000- №411 - С. 440-445.

23. Чабанюк Я.М. Збіжність процедури стохастичної апроксимації в марковському середовищі.// Тези доповідей міжнар. наук. конф. ``Сучасні проблеми механіки і математики'' ім. акад. Я. Підстригача (Львів, 1998). -- К.: Ін-т матем. НАН України. -- 1998. -- С. 314.

24. Чабанюк Я.М. Дискретна стохастична процедура в марковському середовищі.// Сучасні проблеми мат.. Мат. міжнар. наук. конф.. (Чернівці, 1998)- К.:Ін-т мат. НАН України. - 1998. - C. 192-195.

25. Korolyuk V.S., Chabanyuk Ya. M. Stability of dynamic system with semi-Markov switching in the conditions of averaging system stability.// International conf.: "Stochastic analysis and its applications", Аbstracts, (Львів, 2001), -- Lviv: - 2001. - P.34.

26. Чабанюк Я.М. Безпосередня апроксимація стохастичної динамічної системи в схемі усереднення. // Дев'ята міжн. наук. конф. ім. М. Кравчука, (Київ, 2002). -- К.: - 2002. - С.458.

27. Чабанюк Я.М. Збіжність неперервної процедури стохастичної апроксимації в марковському середовищі. // Problems of decision making under uncertainties. (PDMU-2005) International Conference. Abstracts. (Berdyansk, 2005). --К.: -- 2005. - P. 243-244.

28. Чабанюк Я.М., Любицька О.З. Компенсуючий оператор флюктуацій процедури стохастичної апроксимації в напівмарковському середовища. // Міжнар. конф. " Диференціальні рівняння та їх застосування". (Чернівці, 2006). -- К.: - 2005.- С.177.

29. Chabanyuk Ya. Normal asymptotic for continuous procedure stochastic approximation in Semi-Markov space. // Intern. konf. Modern stochastics: theory and applications. Conference mater. (Kyiv, 2006). -- K.: - 2006. - P.118-119.

30. Chabanyuk Ya. Normal Asymptotic Continuous Procedure Stochastic Approximation in Semi-Markov Environment in Averaging Scheme.// Межднар. конф. "Тихонов и современная математика: Асимптотические методы. (Москва, 2006). --М.: - 2006.- C.18-20.

31. Чабанюк Я.М., Подун І.М. Асимптотика компенсуючого оператора в схемі усереднення.// Problems of decision making under uncertainties. (PDMU-2006) International Conference. Abstracts. (Skhidnytsia, 2006). -- К.: - 2006.- P.170-172.

32. Chabanyuk Ya. Stability the dynamical system with the semi-Markov switching in the condition of the diffusion approximation. // Lyapunov Memorial Conference. (24-30 Juni, Kharkiv, 2007).-- Kharkiv: -- 2007. -- P.22-23.

33. Chabanyuk Ya. Continuous stochastic approximation with diffusion perturbation in semi-Markov media.// International Conf. "Skorokhod Space. 50 years on."(17-23 June, Kyiv, 2007). -- К.: - 2007, - P.78-79.

34. Чабанюк Я.М. Збіжність процедури з напівмарковськими переключеннями в схемі дифузійної апроксимації. // Problems Of Decision Making Under Uncertainties. (PDMU-2007) International Conference. Abstracts. (Novy Svit,2007) -- К.:-- 2007.-- С. 135.