Анотація до роботи:

Таранець Р.М. Розв’язність та якісні властивості розв’язків рівнянь тонких капілярних плівок з нелінійною дифузією, конвекцією та абсорбцією – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. -- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2005 р.

Дисертаційна робота присвячена вивченню питань розв'язності і якісних властивостей сильних розв'язків задач Коші для рівнянь тонких капілярних плівок з нелінійними дифузією, конвекцією і з нелінійними дифузією, абсорбцією.

Доведення існування сильного розв'язку задачі Коші складається з трьох основних кроків:

за допомогою методу енергетичних і ентропійних оцінок доводиться існування невід'ємного локального за часом сильного розв'язку відповідної задачі Неймана;

за допомогою методу, що є деякою адаптацією методу локальних енергетичних оцінок, доводиться, що довільний сильний розв'язок задачі Неймана поширюється зі скінченою швидкістю;

з локальних за часом сильних розв'язків задачі Неймана, що мають властивістю скінченність швидкості, будується сильний розв'язок задачі Коші.

Методом, що полягає в дослідженні поведінки розв'язків спеціальних функціональних нерівностей, знайдена верхня оцінка швидкості руху носія довільного сильного розв'язку задачі Коші. Крім того, для довільного сильного розв'язку задачі Коші для рівняння тонких плівок з нелінійною абсорбцією знайдена умова на локальну поведінку початкової функції в околі межі її носія, що забезпечує появу ефекту тимчасової затримки поширення носія цього сильного розв'язку.

1) В розділі 1, використовуючи спеціальну регуляризацію початкової функції і нелінійних доданків рівняння тонких плівок з нелінійною дифузією і конвекцією (див.(8)), методом енергетичних і ентропійних оцінок, запропонованим Ф. Бернісом, А. Фрідманом⁴ й Є. Береттой, М. Бьортчем, Р. Даль Пассо⁵ і розвинутим Р. Даль Пассо, Л. Джакомеллі, А.Є. Шишковим¹⁶, побудовано локальний за часом сильний розв’язок задачі Неймана в довільній обмеженій області з досить гладкою межею. Тому що рівняння (8) містить три нелінійних члени і розглядається в багатовимірній області, то отриманий результат природнім чином містить і узагальнює результати встановлені в роботах Р. Даль Пассо, Л. Джакомеллі, А.Є. Шишковим¹⁶ і Л. Джакомеллі, А.Є. Шишкова¹⁸.

2) В розділі 2 показано, що довільний локальний за часом сильний розв’язок задачі Неймана, побудований в розділі 1, має властивість скінченності швидкості поширення збурень. Метод доведення цього факту запропоновано в роботі А.Є. Шишкова¹⁹ і ґрунтується на вивченні властивостей спеціальних функціональних нерівностей, а також є узагальненням методу G. Stampacchia²⁰. Крім того, у цьому розділі за допомогою локальних розв’язків задачі Неймана, що поширюються зі скінченою швидкістю, побудовано глобальний за часом сильний розв’язок задачі Коші для рівняння (4), а також знайдена точна верхня оцінка швидкості руху носія цього розв’язку. Отримані результати узагальнюють на багатовимірний випадок відповідний результат Л. Джакомеллі, А.Є. Шишкова¹⁸, а також результати Р. Даль Пассо, Л. Джакомеллі, А.Є. Шишкова¹⁶ на випадок трьох нелінійностей.

3) В розділі 3 поширені результати розділів 1 і 2 на випадок рівняння тонких плівок з нелінійною дифузією і абсорбцією (див. (6)). Крім того, для довільного сильного розв’язку задачі Коші рівняння (6) знайдені точні умови на локальну поведінку початкової функції поблизу межі її носія, що забезпечують виникнення тимчасової затримки поширення носія. Метод, за допомогою якого була доведена ця властивість, був запропонований в роботі А.Є. Шишкова, А.Г. Щєлкова²¹ і є адаптацією методу локальних енергетичних оцінок, який запропоновано С.Н. Антонцевим, Дж. Діазом, С.І. Шмарьовим²². Останній результат частково узагальнює результат роботи Р. Даль Пассо, Л. Джакомеллі, Г. Грюна²³, де цей ефект було отримано відносно довільного сильного розв’язку задачі Коші для рівняння (3).

Публікації автора:

[1] Таранец Р.М. Разрешимость и глобальное поведение решений уравнения тонких плёнок с нелинейной диффузией и абсорбцией // Труды ИПММ. –2002. – Т.7.- С. 192--209.

[2] Таранец Р.М. Распространение возмущений в уравнениях тонких капиллярных плёнок с нелинейным поглощением // Труды ИПММ. – 2003.- Т.8. – С. 181--194.

[3] Таранец Р.М., Шишков А.Е. Эффект временной задержки распространения носителя в уравнениях тонких плёнок // УМЖ.- 2003.- Т.55. - №7.- С. 935--952.

[4] Таранец Р.М., Шишков А.Е. Об уравнении течения тонких плёнок с нелинейной конвекцией в многомерных областях // Український Математичний Вісник.- 2004. – Т.1.- № 3. – С. 402--444.