Анотація до роботи:

Манучарян Г.В. Розробка чисельно-аналітичного методу дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки в нелінійних системах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного НАН України, Харків, 2004.

Розроблено новий метод для побудови гомо- та гетеро клінічних траєкторій в нелінійних динамічних системах з двомірним фазовим простором у випадку малої дисипації. Для подання розв’язку використовуються Паде та квазі-Паде апроксимації. Необхідна умова існування аппроксимацій, а також умова у нескінченності дозволили вирішити крайову задачу, що сформульована для траєкторій, та обчислити початкові значення з припустимою точністю.

У випадку немалої дисипації пропонується метод задля визначення початку хаосу, що базується на дослідженні взаємної нестійкості фазових траєкторій в областях хаотичної поведінки в динамічних системах. Метод дозволяє дослідити процес появи і збільшення областей хаотичної поведінки у разі зміни керуючих параметрів динамічної системи.

За допомогою комплексу програм визначено нижні межі областей хаотичної поведінки в площинах параметрів для рівнянь, до яких зводиться розв’язання нелінійних задач динаміки, а саме для неавтономного рівняння Дуффінга, рівнянь Ван дер Поля-Дуффінга, коливань ферми Мізеса, осцилятора з нелінійною характеристикою тертя та параметрично збуреного маятника. Достовірність отриманих результатів перевірено чисельним експериментом.

За дослідженнями, що виконано у дисертаційній роботі відповідно до її мети, створено ефективний метод дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки нелінійних систем з декількома положеннями рівноваги.

Основні наукові і практичні результати, отримані в роботі, полягають у такому:

1. Проведено дослідження стану однієї з актуальних проблем сучасної нелінійної динаміки – проблеми переходу від регулярної динаміки систем з декількома положеннями рівноваги до хаотичної. Зроблено аналіз та подано характеристику існуючих критеріїв та методів дослідження цієї проблеми. Обґрунтовано необхідність розробки нових методів та підходів, які поєднують в собі класичні методи, що базуються на теорії стійкості руху та асимптотичних методах, та сучасні підходи, що дозволяють застосовувати комп’ютерне моделювання.

2. Розроблено новий чисельно-аналітичний метод побудови гомо- та гетероклінічних траєкторій, утворення яких є початком хаотичної поведінки нелінійної системи, для випадку малої дисипації в системі. В основу методу покладено апроксимацію розв’язку за допомогою одноточкових та двоточкових Паде та квазі-Паде апроксимацій.

3. Доведено теореми щодо умов існування апроксимацій Паде, які використані для чисельної реалізації методу. Практичне значення доведених теорем продемонстровано на прикладах «зрощування» локальних розвинень функції і знаходження невідомих параметрів та побудови локалізованого розв’язку нелінійного рівняння Шредінгера.

4. Запропоновано новий чисельно-аналітичний метод дослідження початку хаотичної поведінки системи у випадку немалої дисипації. Метод ґрунтується на дослідженні взаємної нестійкості фазових траєкторій, аналіз якої ведеться на основі запропонованого критерію нестійкості.

5. Розроблено комплекс програм, що реалізує запропоновані методи. З використанням комплексу проведено чисельне дослідження рівнянь, до яких зводиться розв’язання нелінійних задач динаміки, а саме неавтономного рівняння Дуффінга, рівнянь Ван дер Поля-Дуффінга, коливань ферми Мізеса, осцилятора з нелінійною характеристикою тертя та параметрично збуреного маятника. Зокрема, для вказаних рівнянь розв’язані такі задачі:

а) досліджено перехід до хаосу за допомогою критерію гомо- та гетероклінічних траєкторій за малих значень дисипації в системах;

б) досліджено взаємну нестійкість фазових траєкторій систем для випадку, коли дисипація не є малою;

в) проведено чисельний розрахунок стійких та нестійких відносно сідлової точки фазових багатовидів систем.

6. Достовірність результатів, що отримані за чисельно-аналітичними методами, підтверджена узгодженістю з результатами чисельного експерименту, що полягав у дослідженні динаміки стійкого та нестійкого відносно сідлової точки багатовидів у разі зміни значень керуючих параметрів. Для неавтономного рівняння Дуффінга достовірність також підтверджено порівнянням з результатами дослідження з використанням методу Мельникова.