Анотація до роботи:

ЛУТФУЛЛІНМ.В. Реалізації алгебр Лі невисоких розмірностей та інваріантні системи нелінійних диференціальних рівнянь. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук зa спеціальнiстю 01.01.03 — математична фізика. — Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертація присвячена розв’язанню проблеми класифікації реалізацій алгебр Лі та їх застовуванню до дослідження рівнянь математичної фізики.

Одержано повну класифікацію реалізацій дійсних розв’язних алгебр Лі розмірності не вищої за чотири в просторі довільної скінченної кількості змінних. Прокласифіковано реалізації алгебри в просторі комплексних змінних. Побудовано повний прелік реалізацій алгебри в просторі 3 незалежних та залежних комплексних змінних. Знайдено всі нееквівалентні реалізації алгебри Лоренца в просторі довільної кількості комплексних змінних. Цей результат використано для опису коваріантних реалізацій алгебри Пуанкаре в просторі 4 дійсних незалежних та залежних комплексних змінних. Знайдено функціональний базис диференціальних інваріантів першого порядку для реалізацій дійсних розв’язних алгебр Лі розмірності 3 та 4, описано загальний вигляд інваріантних відносно цих алгебр звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нормальні системи, що інваріантні відносно розв’язних алгебр Лі розмірності 3 та 4. Для однієї з реалізацій алгебри Евкліда побудовано функціональний базис диференціальних інваріантів першого порядку і знайдено загальний вигляд інваріантної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними. Побудовано ряд нових точних розв’язків рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу. Проведено відокремлення змінних у системі рівнянь Шредінгера–Максвелла.

Ключові слова: реалізації алгебр Лі, векторні поля, групова класифікація диференціальних рівнянь, диференціальні інваріанти, симетрійна редукція, інваріантні розв’язки.

1. Одержано повну класифікацію реалізацій дійсних розв’язних алгебр Лі розмірності не вище чотирьох в просторах довільної скінченної кількості змінних.

2. Побудовано повний перелік нееквівалентних реалізацій алгебри
   в просторі комплексних змінних, повний перелік реалізацій алгебри в просторі 3 незалежних та залежних комплексних змінних.

3. Прокласифікованo комплексні реалізації алгебри Лоренца . Описано важливий клас реалізацій алгебри Пуанкаре в просторі 4 дійсних незалежних та залежних комплексних змінних.

4. Отримано функціональні базиси диференціальних інваріантів першого порядку для реалізацій дійсних розв’язних алгебр Лі розмірності 3 та 4 в просторах з однією незалежною змінною. Oписано загальний вигляд інваріантних відносно цих алгебр систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нормальні системи, що інваріантні відносно розв’язних алгебр Лі розмірності 3 та 4.

5. Для однієї з реалізацій алгебри Евкліда побудовано повний перелік функціонально-незалежних диференціальних інваріантів першого порядку і знайдено загальний вигляд відповідної інваріантної системи диференціальних рівнянь.

6. Побудовано ряд нових точних розв’язків рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу. Проведено відокремлення змінних у системі рівнянь Шредінгера–Максвелла.

Публікації автора:

1. Лагно В.І., Лутфуллін М.В. Редукція рівнянь Максвелла для векторного потенціалу за підалгебрами розширеної алгебри Пуанкаре // Доп. НАН України. — 1998. — № 7. — C. 31–36.

2. Жданов Р.З., Лутфуллін М.В. Відокремлення змінних у рівнянні Шрьодінгера з потенціалом, який залежить від часу / Симетрійні та аналітичні методи в нелінійній математичній фізиці // Праці Інституту математики НАН України. — 1998. — 19. — С. 100–105.

3. Лутфуллін М.В. Про зображення алгебри Лі групи Евкліда в класі векторних полів Лі // Вісник державного університету “Львівська політехніка”. — 1998. — № 337. — C. 44–46.

4. Zhdanov R., Lutfullin M. On separable Schrdinger–Maxwell equation // J. Math. Phys. — 1998. — 39, № 12. — P. 6454–6458.

5. Lutfullin M. Realization of the Euclidian algebra within the class of complex Lie vector fields // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. — 2000. — 30, Part 1. — P. 151–156.

6. Лутфуллін М.В. Реалізації групи Пуанкаре в класі комплексних векторних полів Лі / Групові та аналітичні методи в математичній фізиці // Праці Інституту математики НАН України. — 2001. — 36. — С. 177–186.

7. Lutfullin M., Popovych R. Realizations of real 4-dimensional solvable decomposed Lie algebras // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. — 2002. — 43, Part 2. — P. 466–469.

8. Lutfullin M. On covariant realizations of the Poincar group // Rep. Math. Phys. — 2002. — 50, № 2. — P. 195–209.

9. Popovych R., Boyko V., Nesterenko M., Lutfullin M. Realizations of real low-dimensional Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. — 2003. — 36. — P. 7337–7360.

10. Lutfullin M. On integrable systems of ODEs // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. — 2004. — 50, Part 1. — 2004. — P. 176–178.

11. Лутфуллін М.В. Про зображення алгебри Лі групи поворотів та групи Лоренца // Збірник наукових праць Полтавського державного педагогічного інституту ім. В.Г. Короленка, cерія “Фізико-математичні науки”. — 1998. — Випуск 3. — С. 41–44.

12. Лутфуллін М.В. Реалізації розв’язних алгебр Лі та інтегрування систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь // Збірник наукових праць Полтавського державного педагогічного університету ім. В.Г. Короленка, cерія “Фізико-математичні науки”. — 2000. — Випуск 1(9). — С. 65–72.

13. Лутфуллін М.B. Підгрупи розширеної групи Пуанкаре та точні розв’язки рівнянь Максвелла для векторного потенціалу / Thesis of Conference Reports “Modelling and Investigation of System Stabiliti”. — Kiev, 1997. — P. 67.

14. Lutfullin M. Symmetry reduction of nonlinear equations of classical electrodynamics / Proc. of the Second International Conf. “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics”. — Kyiv, 1997. — 1. — P. 232–236.