Анотація до роботи:

Плешівський Я.М. Операційний метод розв’язування багатоточкової за часом задачі та задачі Коші для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.

У дисертаційній роботі операційний метод, породжений узагальненою схемою відокремлення змінних, вперше застосовано до розв’язування задач із локальними багатоточковими за часом умовами для однорідної та неоднорідної полілінійної систем рівнянь із частинними похідними.

Розв’язки багатоточкових задач для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними подано за допомогою дій диференціальних виразів, взагалі кажучи, безмежного порядку на деякі цілі функції параметрів, причому символами цих диференціальних виразів є праві частини багатоточкових умов та праві частини системи рівнянь. Виділено класи однозначної розв’язності цих задач.

Доведено, що задача з локальними багатоточковими за часом умовами для полілінійного диференціального рівняння та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними є узагальненням задачі Коші для цього ж рівняння та цієї системи рівнянь. Вказано шлях одержання розв’язку задачі Коші з розв’язку багатоточкової задачі на підставі граничного переходу при прямуванні відстані між вузлами у багатоточкових умовах до нуля.

Запропонований операційний метод розв’язування багатоточкової задачі проілюстровано на конкретних прикладах полілінійних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними.

Дисертація присвячена розв’язанню операційним методом, породженим узагальненою схемою відокремлення змінних, багатоточкової задачі з локальними за часом умовами та задачі Коші для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними. Основні результати дисертації істотно розширюють і доповнюють відомі результати стосовно багатоточкових задач і задач Коші для рівнянь із частинними похідними. У дисертаційній роботі вперше:

за допомогою операційного методу, що грунтується на узагальненій схемі відокремлення змінних, побудовані розв’язки задач з локальними багатоточковими за часом умовами для полілінійної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними, в тому числі безмежного порядку за просторовими змінними. Розв’язки задач подано як суперпозиція дій диференціальних виразів, взагалі кажучи, безмежного порядку, символами яких є праві частини умов і рівнянь, на деякі цілі функції параметрів з покладанням їх після дій рівними нулеві;

виділено класи однозначної розв’язності досліджуваних задач. Серед цих класів є класи аналітичних вектор-функцій, компоненти яких допускають однозначне аналітичне продовження до цілих функцій певних порядків за сукупністю змінних, а також простори Соболєва безмежного порядку;

запропоновано операційний метод побудови часткових розв’язків звичайного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами та спеціальною квазіполіномною правою частиною;

вказані формули граничного переходу від розв’язків багатоточкових задач з локальними за часом багатоточковими умовами до розв’язків задач Коші при прямуванні усіх часових вузлів до одного вузла для полілінійного диференціального рівняння та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними;

для одержаних в результаті граничного переходу розв’язків задач Коші виділено класи функцій, у яких знайдені розв’язки задач існують і є єдиними.

Результати роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати у подальших дослідженнях багатоточкових задач та задач Коші для систем рівнянь із частинними похідними, а також в конкретних задачах механіки.

Основні результати дисертації опубліковано в працях:

1. Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Про один диференціальний метод розв’язання звичайного неоднорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами // Вісн. ДУ “Львівська політехніка”. –Прикладна математика. – 1998. - №337. - С. 140-143.

   Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Багатоточкова задача для однорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. ДУ “Львівська політехніка”. –Прикладна математика. - 1999, №364. - С. 223-227.

   Плешівський Я.М. Крайова задача з локальними багатоточковими умовами для неоднорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. нац. ун-ту “Львівська політехніка”. – Прикладна математика. – 2000. - №407. - С. 216-220.

   Плешівський Я.М. Багатоточкова задача та задача Коші для неоднорідного полілінійного рівняння та неоднорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - 43, №3. - С. 74-79.

   Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Граничний перехід від розв’язку багатоточкової задачі до розв’язку задачі Коші для однорідного полілінійного рівняння та системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. нац. ун-ту “Львівська політехніка”. – Прикладна математика. - 2000. - №411. - С. 151-159.

   Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Багатоточкова задача для неоднорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Вісн. ЛНУ ім. І.Франка. Серія мех.-матем. - 2000. – Вип.58. – С. 144-152.

   Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Крайова задача з локальними багатоточковими умовами для однорідної полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - 43, №2. - С. 90-95.

   Каленюк П.І., Нитребич З.М., Плешівський Я.М. Метод розв’язання багатоточкової задачі для одного класу систем рівнянь із частинними похідними // Міжнар. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння” (12-14 вересня 2000 р., Одеса). Тези доповідей. - С. 118-119.

   Плешівський Я.М. Про один метод розв’язання багатоточкової задачі для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // VIII Міжнар. конф. ім. акад. М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ). Тези доповідей. - С. 166.

   Плешівський Я.М. Багатоточкова задача та задача Коші для системи рівнянь з частинними похідними // Міжнар. конф. “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (1-5 жовтня 2001 р., Дрогобич). Тези доповідей. – Київ, 2001. - С. 116.

   Плешівський Я.М. Граничний перехід до розв’язку задачі Коші на основі розв’язку багатоточкової задачі для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними // IX Міжнар. конф. ім. акад. М.Кравчука (16-19 травня 2002 р., Київ). Тези доповідей. - С. 161.