Анотація до роботи:

Тилищак О. А. Модулярні зображення скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями та їх застосування в теорії лінійних груп. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 — алгебра та теорія чисел. — Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

У роботі знайдено критерій скінченності множини степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи над нецілісним комутативним нетеровим локальним кільцем характеристики p^s. Також показано, що скiнченна p-група G порядку ^|G^| _> 2 над цілісним комутативним нетеровим локальним кiльцем характеристики p, яке не є областю головних ідеалів, має незвiдні матричні зображення як завгодно високого степеня.

Розроблені методи застосовано до повного розв’язання питання про попарну спряженість силовських p-підгруп повної (спеціальної) лінійної групи над комутативним локальним кільцем K характеристики p^s. У випадку, коли фактор-кільце кільця K за первісним радикалом є кільцем Безу, описано єдину, з точністю до спряженості, силовську p-підгрупу повної (спеціальної) лінійної групи над кільцем K.

В дисертаційній роботі з’ясовується, коли множина степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи G порядку ^|G^| _> 1 над комутативним локальним кільцем характеристики p^s скінченна. Головним результатом є критерій скінченності множини i(K,G) степенів всіх незвідних матричних зображень групи G над нецілісним комутативним нетеровим локальним кільцем K характеристики p^s. Встановлено, що необхідною і достатньою умовою скінченності множини i(K,G) є скінченність множини степенiв всiх незвiдних полiномiв над полем лишків K/RadK кільця K і виконання ще однієї з умов: 1) ^|G^| = p, s _> 1, RadK = pK, 2) ^|G^| = 2, s = 1, (RadK)² = 0, K — кiльце головних iдеалiв. Цей результат є істотним узагальненням розв’язання аналогічних задач для зображень скінченної p-групи над кільцем класів лишків за модулем p^s (s _>1) та зображень циклічної групи порядку p над фактор-кільцем R/P^s, де R — дискретно нормоване кільце, в якому p — простий елемент, P — радикал Джекобсона кільця R і s _>1, що випливають з результатів П. М. Гудивка, В. С. Дроботенка, О. І. Ліхтмана, Е. С. Дроботенка, З. П. Жилінської, Є. Я. Погоріляк та Т. Ханнули. Також було побудовано незвiдні матричні зображення скiнченної p-групи G порядку ^|G^| _> 2 над цілісним комутативним нетеровим локальним кiльцем характеристики p, яке не є областю головних ідеалів, як завгодно високого степеня.

Крім того, розроблені методи застосовано до з’ясування необхідної і достатньої умови попарної спряженості силовських p-підгруп повної (спеціальної) лінійної групи степеня n над комутативним локальним кільцем K характеристики p^s, яке розвинуло результати П. М. Гудивка, Є. Я. Погоріляк та В. П. Рудька про силовські p-підгрупи повної лінійної групи над областями цілісності характеристики p. Встановлено, що згаданою умовою при n > 1 є умова, що фактор-кільце кільця K за первісним радикалом є кільцем Безу. Також була описана єдина, з точністю до спряженості, силовська p-підгрупа повної (спеціальної) лінійної групи над кільцем K, фактор-кільце якого за первісним радикалом є кільцем Безу.

Публікації автора:

1. Гудивок П. М., Тилищак О. А. Про незвідні модулярні зображення скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. – 1998. – Вип. 3. – С. 78–83.

2. Тилищак О. А. Про незвідні зображення скінченних p-груп над деякими локальними кільцями характеристики p // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. – 1999. – Вип. 4. – С. 104–110.

3. Тилищак О. А. Про силовські p-підгрупи повної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2000. – Вип 5. – С. 95–102.

4. Тилищак О. А. Про силовські p-підгрупи спеціальної лінійної групи над комутативним кільцем характеристики p^s // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2001. – Вип 6. –С. 140–142.

5. Гудивок П. M., Тилищак О. A. Про незвідні модулярні зображення скінченних p-груп над деякими кільцями // Матеріали міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми механіки і математики". – Львів. – 1998. – С. 222–223.

6. Тилищак О. А. Про силовські p-підгрупи повної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s // Матеріали VIII міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – К. – 2000. – С. 370.

7. Тилищак О. А. Про незвідні модулярні зображення скінченних p-груп над локальними кільцями і їх застосування // Міжнар. алгебр. конф. в рамках Укр. мат. конгресу, присвяченого пам’яті М. В. Остроградського. Тези доп. – Ужгород. – 2001. – С. 51.