Библиотека диссертаций Украины Полная информационная поддержка
по диссертациям Украины
  Подробная информация Каталог диссертаций Авторам Отзывы
Служба поддержки




Я ищу:
Головна / Фізико-математичні науки / Диференціальні рівняння


Слєпцова Ірина Петрівна. Квазілінійні еволюційні рівняння в необмежених нециліндричних областях : дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.02 / НАН України; Інститут прикладної математики і механіки. - Донецьк, 2005.



Анотація до роботи:

Слєпцова І.П. Квазілінійні еволюційні рівняння в необмежених нециліндричних областях.Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

У дисертаційній роботі досліджено параболічні рівняння високого порядку та еволюційні рівняння , які мають вигляд utt+Aut+Bu=F(x,t), де A і B – еліптичні оператори за просторовими змінними порядків 2m і 2l2m+2 відповідно, m1. Доведено розв’язність крайових задач для лінійних рівнянь в необмежених нециліндричних областях в класах зростаючих функцій, досліджено залежність зростання розв’язків від геометричних характеристик області.

Для квазілінійних параболічних рівнянь встановлені залежні від геометрії області апріорні оцінки узагальнених розв’язків крайової задачі. Ці оцінки визначають класи зростаючих функцій, які узагальнюють класи Тіхонова і Теклінда єдиності розв’язку задачі Коші для рівняння теплопровідності.

Для квазілінійних однорідних еволюційних рівнянь, які містять як частковий випадок лінійні рівняння, встановлено класи мінімального зростання нетривіальних розв’язків крайової задачі в нециліндричних областях (узагальнені класи Теклінда). Для „сильно” квазілінійних рівнянь (оператори A і B типу p-лапласіана, p>2) аналогічний результат встановлено в необмежених циліндричних областях. Вилучено класи рівнянь з показниками p і q нелінійності операторів A і B відповідно, 2qp, p>2, для яких нетривіальні розв’язки мають кваліфіковане зростання на нескінченності.

Дисертаційна робота присвячена вивченню розв’язності, асимптотичної поведінки на нескінченності та залежності від геометрії області розв’язків крайових задач для еволюційних рівнянь в необмежених нециліндричних областях.

1. Доведено існування узагальнених розв’язків крайових задач для лінійних параболічних рівнянь високого порядку в необмежених нециліндричних областях. Встановлено припустиме зростання вільного члена рівняння від геометричних характеристик області. Класи розв’язків, що отримано, узагальнюють класи Тіхонова для рівняння теплопровідності.

2. Для квазілінійних параболічних рівнянь високого порядку встановлено апріорні оцінки енергетичних розв’язків крайової задачі на нескінченності. На їх основі доведено теореми типу принципу Фрагмена-Ліндельофа, що визначають класи зростаючих функцій, у яких крайова задача має тільки нульовий розв’язок. Знайдені класи узагальнюють класи Тіхонова і Теклінда розв’язків задачі Коші для рівняння теплопровідності. Апріорні оцінки, що отримано, можуть бути основою для доведення існування зростаючих на нескінченності розв’язків розглядуваної задачі.

3. Для лінійних еволюційних рівнянь високого порядку за просторовими змінними та другого порядку за часом в обмеженій нециліндричній області доведено теорему існування узагальнених розв’язків мішаної задачі та досліджена гладкість отриманих розв’язків.

4. Для квазілінійних еволюційних рівнянь в необмеженій нециліндричній області встановлено залежну від геометрії області апріорну оцінка інтегралу енергії типу принципу Сен-Венана. На її основі доведено теореми типу принципу Фрагмена-Ліндельофа, які у випадку лінійних рівнянь визначають класи єдиності зростаючих на нескінченності розв’язків крайової задачі. Ці класи узагальнюють класи Тіхонова і Теклінда для параболічних рівнянь.

5. На основі теореми існування розв’язків мішаної задачі в обмеженій нециліндричній області і апріорної оцінки типу принципу Сен-Венана доведено існування зростаючих на нескінченності розв’язків крайової задачі для лінійних еволюційних рівнянь в необмеженій

17

нециліндричній області. Встановлено припустиме зростання вільного члена рівняння і гранична область, в якій існують розв’язки із кваліфіковано зростаючим вільним членом.

6. Для рівнянь другого порядку за часом із квазілінійними операторами за просторовими змінними в необмеженій циліндричній області доведено теорему типу Фрагмена-Ліндельофа, яка визначає класи зростаючих функцій, де мішана задача для однорідного рівняння має тільки нульовий розв’язок. Знайдені класи є узагальненими класами Теклінда.

7. Запропоновано модифікацію методу доведення теорем типа Фрагмена-Ліндельофа для „сильно” квазілінійних еволюційних рівнянь із двома відмінними нелінійностями. Метод, що використовувався в розглянутих вище випадках, незастосовний у зв’язку із складнішою структурою апріорної оцінки інтеграла енергії, що ураховує параметри задачі. Вилучено деякі класи рівнянь, для яких вказано мінімальне можливе зростання енергетичних розв’язків.

8. Нові результати, що містить дисертація, дають достатньо повний опис класів існування і єдиності розв’язків крайових задач для лінійних рівнянь і асимптотичної поведінки розв’язків крайових задач для квазілінійних еволюційних рівнянь першого та другого порядків за часом в необмежених областях. У випадку нециліндричних областей проведено дослідження впливу геометрії області на класи зростаючих на нескінченності розв’язків. Можна виснувати, що мета дисертаційного дослідження досягнута і поставлені задачі виконано.

Публікації автора:

  1. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Смешанная задача для уравнения распространения возмущений в вязких средах в неограниченных областях // Докл. АН. УССР. Сер. А. – 1988. - №11. – С.28-31.

  2. Слепцова И.П., Шишков А.Е. О существовании растущих на бесконечности обобщенных решений краевых задач для линейных параболических уравнений высокого порядка // Изв. вузов. Математика. – 1988. - №4. – С. 61-69.

  3. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Существование растущих на бесконечности обобщенных решений смешанной задачи для некоторых эволюционных уравнений // Докл. АН. УССР. Сер. А. – 1989. - №12. – С.20-23.

  4. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Классы единственности и разрешимости смешанных задач для некоторых эволюционных уравнений в неограниченных областях // Сиб. матем. журнал. – 1991. - Т.32, №5. – С. 166-178.

18

  1. Slyeptsova I. Asymptotic behavior of solutions of some second order evolution nonlinear equations// Nonlinear Partial Differential Equations. Book of abstracts. International conference. Alushta, September, 15-21, 2003. – P.199.

  2. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделефа для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка // Укр. матем. журнал. – 2005. - Т.57, №2. – С.239-249.

  3. Слепцова И.П. О разрешимости краевых задач для линейных параболических уравнений в неограниченных нецилиндрических областях // Нелин. граничные задачи. – 2005. - В.15. – С.192-203.