Анотація до роботи:

Кушніренко С.В. Інваріантні множини стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

У дисертації досліджуються інваріантні множини стохастичних диференціальних рівнянь (СДР) із стрибками. Знайдено необхідні, необхідні і достатні, а також достатні умови існування локальних інваріантних поверхонь та отримано необхідні і достатні умови існування перших інтегралів для вказаних СДР. Знайдено явний вигляд інварiантних поверхонь та доведено теорему про необхідні і достатні умови їх локальної інваріантності для деяких класів систем другого порядку СДР із стрибками. Для певного стохастичного гармонічного осцилятора досліджено поведінку повної енергії, отримано умови її стабілізації, знайдено явний вигляд кореляційних функцій положення та швидкості осцилятора. Для деякого класу інтегро-диференціальних рівнянь отримано умови стабілізації розв'язку задачі Коші, що виражаються безпосередньо через коефіцієнти рівняня.

Знайдено необхідні, необхідні і достатні, а також достатні умови існування локальних інваріантних поверхонь та отримано необхідні і достатні умови існування перших інтегралів для систем СДР із стрибками. Результати досліджень не залежать від розмірності простору і дають загальні можливості знаходження явного вигляду інваріантних поверхонь та перших інтегралів для вказаних систем СДР.

Знайдено явний вигляд інварiантних поверхонь та доведено теорему про необхідні і достатні умови їх локальної інваріантності для деяких класів систем другого порядку СДР із стрибками.

Досліджено поведінку повної енергії певного випадкового гармонічного осцилятора. Отримано умови стабілізації повної енергії гармонічного осцилятора у випадку, коли під певними кутами до вектора фазової швидкості діють флуктуації типу “білого” і “дробового” шумів. Знайдено явний вигляд кореляційних функцій положення та швидкості стохастичного гармонічного осцилятора, наведено модель осцилятора, де положення та швидкість не корелюють між собою.

Використовуючи ймовірнісне представлення розв'язку задачі Коші для певного класу інтегро-диференціальних рівнянь та результати про інваріантні множини відповідних СДР із стрибками знайдено явний вигляд розв'язку задачі Коші та отримано умови його стабілізації, що виражаються безпосередньо через коефіцієнти рівняння.

Одержані в роботі результати є новими, вони можуть застосовуватися при побудові математичних моделей та дослідженні поведінки динамічних систем при випадкових збуреннях процесами типу “білого” і “дробового” шумів, при розробці методів стабілізації нестійких стохастичних систем.