Анотація до роботи:

Коваль В.О. Граничні теореми для операторно-нормованих мартингалів та розв’язків стохастичних рівнянь. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України, Київ, 2003 р.

Дисертація присвячена дослідженню сильних граничних теорем для багатовимірних мартингалів, нормованих невипадковими лінійними операторами, та розв’язків багатовимірних стохастичних рекурентних (і диференціальних) рівнянь. Знайдено загальні достатні умови типу Прохорова-Лоева збіжності майже напевно до нуля та обмеженості майже напевно операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів, з допомогою яких виведені умови збіжності до нуля та обмеженості операторно-нормованих багатовимірних мартингалів з дискретним часом. Розглянуто мартингали з додатковими обмеженнями, зокрема, мартингали з моментами вищих порядків та субгауссівські мартингали. Деякі результати узагальнені на мартингали з неперервним часом.

Досліджено асимптотичну поведінку майже напевно розв’язків рівнянь авторегресії (та їх узагальнень) в , породжених мартингал-різницями, при загальних припущеннях про спектр оператора (матриці). Розглянуто рівняння авторегресії з стискаючим оператором в сепарабельному банаховому просторі. Доведено обмежений закон повторного логарифма для розв’язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь в .

Доведено закони повторного логарифма для матрично-нормованих сум незалежних випадкових векторів. Отримані результати застосовуються до знаходження точних констант у швидкості збіжності багатовимірних процедур стохастичної апроксимації загального виду. Досліджено точну асимптотичну поведінку майже напевно розв’язків багатовимірних рівнянь авторегресії та їх узагальнень.

Дисертаційна робота присвячена розробці і застосуванню методів асимптотичного аналізу реалізацій операторно-нормованих багатовимірних мартингалів та розв’язків стохас- тичних рекурентних рівнянь, збурених мартингал-різницями. Основними є такі результати:

1) знайдено загальні достатні умови типу Прохорова-Лоева збіжності до нуля та обмеженості майже напевно операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів;

2) знайдено достатні умови збіжності до нуля та обмеженості майже напевно для операторно-нормованих багатовимірних мартингалів загального виду та для мартингалів з додатковими обмеженнями (мартингали з моментами вищих порядків, субгауссівські
мартингали, тощо);

3) досліджено асимптотичну поведінку майже напевно розв’язків рівнянь авторегресії (та їх узагальнень) в , збурених мартингал-різницями і послідовностями ортогональних випадкових векторів, при загальних припущеннях про спектр оператора (збіжність до нуля та обмеженість майже напевно, підсилений закон великих чисел, обмежений закон повторного логарифма і його аналоги);

4) досліджено асимптотичну поведінку майже напевно розв’язків рівнянь авторегресії з стискаючим оператором та їх узагальнень в сепарабельному банаховому просторі при загальних припущеннях про характер збурень;

5) доведено обмежений закон повторного логарифма та його аналоги для розв’язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь в ;

6) доведено новий варіант закону повторного логарифма в для сум незалежних випадкових векторів;

7) доведено закон повторного логарифма для сум незалежних випадкових векторів з довільними матричними нормуваннями;

8) знайдено точні константи в законах типу повторного логарифма для розв’язків багатовимірних рівнянь авторегресії з стискаючим оператором та їх узагальнень;

9) доведено закон повторного логарифма для процедур стохастичної апроксимації загального виду в ;

10) доведено обмежений закон повторного логарифма для процедур стохастичної апроксимації загального виду в сепарабельному банаховому просторі.

Публікації автора:

160. Коваль В. А. Законы больших чисел и повторного логарифма для решений

стохастических разностных уравнений в банаховом пространстве // Стохастические

уравнения и граничные теоремы. – К.: Ин-т математики АН Украины. – 1991. – С. 79 – 90.

161. Коваль В.А. Loglog – принцип инвариантности для решений стохастического разностного уравнения в банаховом пространстве // Случайные процессы и бесконечномерный анализ. – К.: Ин-т математики АН Украины. – 1992. – С. 57 – 62.

162. Коваль В.А. О скорости сходимости процедур стохастической аппроксимации // Укр. мат. журн. – 1994. - Т. 46, № 8. – С. 997 – 1002.

163. Коваль В.А. Слабый принцип инвариантности для решений стохастического рекуррентного уравнения в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. – 1995. – Т. 47, № 1. – С. 114 – 117.

164. Коваль В.О. Про закон повторного логарифма для гауссових послідовностей та його застосування // Теорія ймовірн. мат. статист. – 1996. – № 54. – С. 66 – 71.

165. Коваль В.А., Швабе Р. Предельная теорема для максимума зависимых гаус- совских случайных элементов в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. – 1997. – Т. 49,

№ 7. – С. 1005 – 1008.

166. Koval V., Schwabe R. Limit theorems for solutions of stochastic difference equations in Banach spaces with applications // Random Oper. Stoch. Equat. – 1998. – Vol. 6, № 2. – P. 149 – 158.

167. Koval V., Schwabe R. Exact bounds for the rate of convergence in general stochastic approximation procedures // Stoch. Anal. Appl. – 1998. – Vol. 16, № 3. – P. 501 – 515.

168. Коваль В.А. О скорости сходимости процедур стохастической аппроксимации в банаховом пространстве // Кибернетика и системный анализ. – 1998. – № 3. – С. 81 – 89.

169. Коваль В.О. Підсилений закон великих чисел для операторно-нормованих мартингалів // Теорія ймовірн. мат. статист. – 1998. – № 59. – С. 66 – 74.

170. Buldygin V.V., Koval V.A. On the strong law of large numbers for martingales with operator norming // Theory Stoch. Processes. – 1998. – Vol. 4 (20), № 1 – 2. – P. 82 – 88.

171. Коваль В.О. Підсилений закон великих чисел для векторних мартингалів з матричними нормуваннями // Теорія ймовірн. мат. статист. – 1999. – № 60. – С. 59 – 63.

172. Коваль В.О. Граничні теореми для операторно-нормованих випадкових векторів. I // Теорія ймовірн. мат. статист. – 1999. – № 61. – С. 47 – 58.

173. Булдыгин В.В., Коваль В.А. Усиленный закон больших чисел с операторными нормировками для мартингалов и сумм ортогональных случайных векторов // Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, № 8. – С. 1045 – 1061.

174. Булдигін В.В., Коваль В.О. Про асимптотичні властивості розв’язків лінійних

стохастичних диференціальних рівнянь в // Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, № 9. – С. 1166 – 1175.

175. Коваль В.А. Об одном достаточном условии выполнения усиленного закона больших чисел для мартингалов // Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, № 10. – С. 1357 – 1362.

176. Коваль В.О. Граничні теореми для операторно-нормованих випадкових векторів. II // Теорія ймовірн. мат. статист. – 2000. – № 62. – С. 28 – 38.

177. Buldygin V.V., Koval V.A. Convergence to zero and boundedness of operator-normed sums of random vectors with application to autoregression processes // Georgian Math. J. – 2001. – Vol. 8, № 2. – P. 221 – 230.

178. Коваль В.О. Закон повторного логарифма для гауссовских моделей авторегрессии // Укр. мат. журн. – 2001. – Т. 53, № 3. – С. 428 – 431.

179. Коваль В.А. О законе повторного логарифма для операторно-нормированных сумм случайных векторов // Теория вероятн. и ее примен. – 2001. – Т. 46, № 2. – С. 381 – 383.

180. Коваль В.А. Об усиленном законе больших чисел для многомерных мартингалов с непрерывным временем // Укр. мат. журн. – 2001. – Т. 53, № 9. – С. 1287 – 1291.

181. Коваль В.О. Про швидкість збіжності процедур стохастичної апроксимації при різних умовах залежності // Теорія ймовірн. мат. статист. – 2001. – № 65. – С. 60 – 66.

182. Koval V. A new law of the iterated logarithm in with application to matrix-normalized sums of random vectors // J. Theoretical Probab. – 2002. – Vol. 15, № 1. – P. 249 – 257.

183. Коваль В.А. Закон повторного логарифма для матрично-нормированных сумм независимых случайных векторов и его применение // Матем. заметки. – 2002. – Т. 72, № 3. – C. 363 – 369.