212. Малкіна Віра Михайлівна. Геометричне моделювання скалярних і векторних полів на базі узагальнено- тривекторного числення: дис... д-ра техн. наук: 05.01.01 / Донецький національний технічний ун-т. - Донецьк, 2005.
Анотація до роботи:
Малкіна В.М. Геометричне моделювання скалярних і векторних полів на базі узагальнено-тривекторного числення. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – “Прикладна геометрія, інженерна графіка”. –Донецький національний технічний університет. – Україна, Донецьк, 2005.
Захищається дисертація і 29 наукових праць, у яких пропонується новий моделюючий апарат, основою якого є спеціально розроблене в роботі О-тривекторне числення. Суть нового числення складає побудований новий геометричний об'єкт (О-тривектор) і система операцій над О-тривекторами.
На основі введених О-тривекторних операцій вводяться поняття аналітичної функції О-тривекторного аргументу, похідної та інтегралу від такої функції, досліджуються їхні властивості.
Пропонується метод побудови апроксимуючого векторного поля за допомогою ступеневих О-тривекторних рядів, які збігаються. На базі апроксимуючих О-тривекторних поліномів, запропонованих у роботі, розроблений загальний метод моделювання скалярних і векторних полів за наперед заданими диференціально-геометричними умовами.
На основі загального методу, запропонованого в роботі, розроблені методи розв’язання прикладних задач, а саме метод розв’язання задачі теорії пружності в постановці Ламе, методи розв’язання задач теплопровідності (стаціонарної, нестаціонарної, однорідної, неоднорідної), методи розв’язання задач про прогин пластини, метод розв’язання задачі про коливання твердого тіла.
Розв'язані практичні задачі, що впроваджені у виробництво, а саме в КБ “Південне”, м. Дніпропетровськ; в КБ ЗАТ “Київпромзв'язокбуд”, м. Київ; у ГРП “Авто-ЗАЗ -Мотор”, м. Мелітополь.
Вирішено наукову проблему підвищення точності геометричного моделювання векторних, скалярних і векторно-скалярних полів за рахунок розробки нового моделюючого апарату, основу якого складає побудоване у роботі узагальнено-тривекторне числення. З цією метою розроблено метод побудови апроксимуючого векторного, скалярного або векторно-скалярного узагальнено-тривекторного полінома, який задовольняє заданим лінійним диференціальним і позиційним умовам. Уперше розроблена система геометричного моделювання векторних, скалярних і векторно-скалярних полів на базі побудованого у роботі числення узагальнених тривекторів (О-тривекторів), яке відрізняється від відомих, по-перше, спільністю підходів для зазначених різновидів полів, по-друге, базуванням на розкладанні в ряд типу Фур'є за аналітичними функціями узагальненого тривекторного аргументу.
Основні наукові і практичні результати.
Аналіз існуючих методів моделювання векторних і скалярних полів показав, що існуючі методи не дозволяють одержати загальні алгоритми для моделювання процесів векторної, скалярної і векторно-скалярної природи. Існуючі методи моделювання виявляються неефективними при побудові моделюючих полів на областях складної геометричної форми і за складними комбінованими диференціальними умовами.
Розв’язання поставленої проблеми полягає в розробці нового моделюючого апарату на основі числення О-тривекторів і методів моделювання на базі цього числення, у рамках якого:
введено та досліджено поняття нового геометричного об'єкту – О-тривектор, і побудована система спеціальних операцій над О-тривекторами, що є основою О-тривекторного числення;
введено поняття аналітичної функції О-тривекторного аргументу і базові поняття аналізу таких функцій;
на основі аналітичних функцій О-тривекторного аргументу розроблені алгоритми побудови скалярних і векторних полів із заданими лінійними диференціальними властивостями;
розроблено новий підхід до побудови апроксимуючого векторного поля у вигляді ряду типу Фур'є за спеціальним набором О-тривекторних функцій;
розроблено загальний метод побудови векторних і скалярних полів із заданими лінійними диференціально-позиційними характеристиками у вигляді апроксимуючого О-тривекторного поліному за допомогою конструювання спеціальної метрики в просторі моделювання.
Математичний апарат геометричного моделювання полів, розроблений у дисертації, відрізняється від відомого апарату векторного аналізу тим, що основним об'єктом нового числення є узагальнений тривектор, що має три векторні і скалярну компоненти. Традиційні для векторного числення операції додавання, скалярного, векторного і змішаного добутків доповнені операцією узагальненого добутку тривекторів, яка є комутативною, дистрибутивною і асоціативною операцією. Це дозволяє будувати цілопоказникові ступеневі узагальнено-тривекторні поліноми і ступеневі узагальнено-тривекторні ряди, а також ввести поняття аналітичної функції узагальненого тривекторного аргументу.
На основі запропонованого загального методу розроблені методи розв‘язання прикладних задач:
метод розв‘язання задачі про деформацію пружного тіла в постановці Ламе, при завданні крайових умов у переміщеннях, у напруженнях, змішаного типу;
метод розв‘язання задачі про прогин пластини при різних способах закріплення країв, а саме, при защемленні країв, при шарнірно обпертих краях, при вільному краї, при змішаному способі закріпленні країв. Розв‘язано задачу при рівномірному і нерівномірному розподілі навантаження;
метод розв‘язання задачі теплопровідності стаціонарної, нестаціонарної, однорідної, неоднорідної, при крайових умовах I-го роду, II-го роду і при змішаних крайових умовах;
метод розв‘язання задачі про коливання твердого тіла – однорідної, неоднорідної, із крайовими умовами різних типів.
Перераховані методи відрізняються від відомих тим, що дозволяють отримати розв’язки з необхідною точністю, на областях довільної однозв’язної конфігурації, та являються загальними для різних видів крайових умов. Для кожного із запропонованих методів розроблено відповідна програмна реалізація і рекомендації при застосуванні для розв’язання практичних задач.
4. Наведені в роботі розв’язання тестових прикладів і практичних задач підтверджують достовірність отриманих теоретичних результатів. Достовірність отриманих результатів забезпечується порівнянням розв’язків запропонованим методом з відомими методами (методом -функцій, методом Бубнова-Гальоркіна, методом розподілення змінних і ін., достовірність яких підтверджена експериментально) при максимальних відхиленнях розв’язків не вище 2%.
5. Здійснено впровадження. Методика розрахунку і її програмна реалізація прийняті до впровадження для прогнозування розподілу температурного поля усередині ребер охолодження різних профілів в автомобільних двигунах, розроблювальних на ГРП “Авто-ЗАЗ-Мотор” (м. Мелітополь).
Розроблені розрахункові методики і їхня програмна реалізація прийняті до впровадження в Державному конструкторському бюро “Південне” (м. Дніпропетровськ) при моделюванні теплових полів термозахисних покрить космічних апаратів.
Методика розрахунків і програмна реалізація при прогнозуванні полів напружень і переміщень усередині будівельних конструкцій у вигляді балок складного профілю прийняті до впровадження в ЗАТ “Київпромзв'язокбуд” (м.Київ).
Практичні і теоретичні результати досліджень використовуються в навчальному процесі Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь) в курсах “Прикладна математика”, “Математичне програмування і моделювання виробничих систем”.
Використання отриманих результатів на практиці доцільно при побудові геометричних моделей явищ і процесів за наперед заданими лінійними диференціально-геометричними характеристиками. Розроблений математичний апарат можна застосовувати для геометричного моделювання напружено-деформованих станів конструкцій, явищ теплопровідності, коливальних процесів, полів іншої природи, а також конструювати поверхні за наперед заданими диференціально-геометричними умовами.
Подальший розвиток запропонованих досліджень можливо проводити в наступних напрямках: розв‘язання інших прикладних задач моделювання процесів векторно-скалярної природи; розширення кола розв'язуваних прикладних задач за рахунок конструювання нових видів метрик у просторі розв‘язків і побудови апроксимантів, що відповідають новим критеріям; дослідження в області О-тривекторних рядів і застосування таких рядів в алгоритмах моделювання; розв‘язання прикладних задач у багатовимірному просторі.
Малкіна В.М. Дослідження аналітичних функцій узагальнено-тривекторного аргументу.//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Мелітополь:ТДАТА, 2002– Т.16, Вип.4. – С.69-72.
Малкіна В.М. Інтеграл від аналітичної функції узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Мелітополь:ТДАТА, 2002– Т.17, Вип.4. – С.56-59.
Малкіна В.М. Побудова полів з заданими диференціальними властивостями в термінах функцій узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2003. – Т.18, Вип.4. – С.52-55.
Малкіна В.М. Особливості геометричного моделювання векторних полів з заданими диференціальними властивостями//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. –Мелітополь: ТДАТА, 2003. – Т.19, Вип.4.– С.64-67.
Малкіна В.М. Дослідження функцій-аналогів від узагальнено тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Мелітополь:ТДАТА, 2003. – Т.20, Вип.4. – С.57-60.
Малкіна В.М. Моделі потенціального і соленоїдального векторних полів у вигляді функцій від узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2003. – Т.21. Вип.4 – С.61-63.
Малкіна В.М. Моделювання температурних полів у термінах функцій узагальненого тривекторного аргументу//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2003. – Вип.12. – С.106-108.
Найдиш В.М., Малкіна В.М. Побудова алгебри тривекторів//Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2001. – Вип.68. – С. 11-15 (особисто автором розроблена система нових операцій над тривекторами і досліджені властивості цих операцій).
Найдиш А.В., Малкіна В.М. Розкладання тривекторного ступеня тривектора по тривекторам //Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2001. – Вип.69. – С. 36-38 (особисто автором побудовано лінійний простір, породжений тривектором і досліджені властивості базису цього простору).
Малкіна В.М. Векторний і векторно-скалярний добутки тривекторів//Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2002. – Вип.71. – С. 123-126.
Малкіна В.М. Геометричне моделювання поля переміщень точок тонкої пластини під дією деякої сили//Прикладна геометрія та інженерна графіка. -Київ: КНУБА, 2003. – Вип.73. – С. 140-145.
Малкіна В.М. Розв’язання задач теорії пружності на основі апарата геометричного моделювання//Геометричне та комп’ютерне моделювання. -Харків: ХДУХТ, 2004. – Вип.6.– С.14-20.
Малкіна В.М.Побудова моделей векторних і скалярних полів у термінах функцій узагальненого тривекторного аргументу//Вестник Херсонского государственного технического университета. – Херсон: ХГТУ. – 2003. – №3(19). – С. 253-257.
26. Найдиш А.В., Малкіна В.М. Застосування спеціальних функцій узагальненого тривекторного аргументу для моделювання крайових задач мат. Фізики//Матеріали міжнародної науково-практичної конференції. “Сучасні проблеми геометричного моделювання.” – Львів: “Львівська політехніка” 2003, – С.157-159 (особисто автором розроблено новий метод побудови моделей векторних і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями у вигляді спеціальних О-тривекторних рядів Фур'є).
Малкіна В.М. Дослідження тривекторного базису//Геометричне та комп’ютерне моделювання. -Харків: ХДУХТ, 2002. – Вип.1.– С.78-81.
Малкіна В.М. Дослідження декартових тривекторів//Геометричне та комп’ютерне моделювання. -Харків: ХДУХТ, 2002. – Вип.2.– С.70-74.
Найдыш А.В., Малкина В.М. Построение аппроксимирующих кривых в виде полиномов высоких степеней//Тезисы международной научно-практической конференции. “Современные проблемы геометрического моделирования.” Донецк: ДонГТУ. – 2000, – С.27-28 (особисто автором розроблено новий метод побудови моделей векторних і скалярних полів із заданими диференціальними і позиційними властивостями у вигляді спеціальних О-тривекторних рядів Фур'є).
