Анотація до роботи:

Гумен О.М. Геометричне моделювання багатокритеріальних задач техніки. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 — “Прикладна геометрія, інженерна графіка”. — Київський Національний університет будівництва і архітектури. Київ. 2004.

В дисертації набуло подальшого розвитку розв’язання задач багатокритеріальної компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно для складних залежностей між багатьма змінними, коли на функції оптимізації впливають аргументи у різних комбінаціях.

Суть пропонованого підходу заключається у розгляді системи проекцій чи відповідних їм рівнянь, що сукупно відображають багатовид як модель загальної залежності. Геометричне розв’язання цієї задачі зводиться до знаходження на багатовиді екстремальної точки як точки дотику k-підпростору, паралельного гіперплощині

l₁ x₁ + ... + l_n–k x_n–k = 1,

де l_i — ваги функцій оптимізації, які задаються в залежності від пріоритетності цих функцій. При цьому вагам приписуються знаки “+” чи “–” в залежності від потреби максимізувати чи мінімізувати їх.

Оскільки рівняння багатовидів часто подають у параметричній формі, то в дисертації розглядається також геометричне моделювання таких систем рівнянь у вигдяді відповідних багатовидів у обхоплюючому просторі всіх змінних системи. включаючи параметри.

Якщо багатовиди описуються системами нелінійних рівнянь, то й обернено будь-якій системі нелінійних рівнянь, зв’язаних спільними аргументами, відповідає, як модель (графік), відповідний багатовид.

Як окремі випадки багатовидів у роботі розглядаються поверхні 4-го порядку: двопорожнинний гіперболічний параболоїд та двопорожнинний параболічний параболоїд з дослідженням їхніх характерних перерізів та форми.

Одержано також рівняння плоских кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема, лемніскати Бернуллі.

Практичне значення одержаних теоретичних положень дисертації заключається у спрощенні алгоритмів коректного розв’язування задач багатокритеріальної компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно. Розроблений метод впроваджено у ЗАТ “Артсервіс” (м. Львів) для розрахунку оптимальних технологічних параметрів при підготовці виробництва фотополімерних друкарських форм.

Одержані узагальнені лемніскати впроваджені у виробництво на УМТ “Львівтрансгаз” для спряження трубопроводів.

Результати роботи впроваджені також у навчальний процес на фізико-математичному факультеті НТУУ “КПІ”.

1. У роботі розширено клас геометричних моделей залежностей багатьох змінних у вигляді певних багатовидів на такі складні залежності, коли на функції впливають аргументи у різних комбінаціях.

2. Розроблена методика розв’язування багатокритеріальних задач компромісної оптимізації, що зводиться до розгляду системи складових (проекцій чи відповідних їм рівнянь) загальної залежності між всіма змінними, що сукупно відображають багатовид як геометричну модель (графік) загальної залежності і геометрично моделюються підбагатовидами у відповідних координатних підпросторах обхоплюючого простору всіх змінних.

3. Досліджено і встановлено геометричну суть параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь (гіперповерхонь), багатовидів взагалі та запропоновано їхні відображення (графіки) у вигляді відповідних багатовидів у обхоплюючому просторі всіх змінних системи параметричних рівнянь, включаючи параметри.

4. Запропоновано геометричне представлення (моделі) систем нелінійних рівнянь у вигляді відповідних багатовидів у обхоплюючомупросторі всіх змінних заданої системи.

5. Одержано рівняння алгебраїчних поверхонь 4-го порядку: двопорожнинного гіперболічного параболоїда з чотирма прямими та двопорожнинного параболічного параболоїда як окремих випадків багатовидів, та досліджені форма цих поверхонь і характерні їхні перерізи.

6. Розроблено спосіб побудови алгебраїчних плоских кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема, витягнутої і стиснутої лемніскат, що розглядаються як узагальнення лемніскати Бернуллі.

7. Одержані теоретичні результати дисертації впроваджені у виробництво в галузі поліграфічної промисловості, в конструкціях кутових переходів газонафтопроводів, у навчальному процесі при викладанні курсів фізики, математичного моделювання, математичного аналізу та диференціальної геометрії на фізико-математичному факультеті Національного технічного університету “Київський політехнічний інститут”.

8. Запропоновані методи формалізованого геометричного моделювання складних багатокритеріальних задач компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно та алгоритми їх розв’язування можуть бути застосовані для розв’язування аналогічних задач різної фізичної природи у будь-якій галузі.

9. У подальшому розвитку приведених у роботі досліджень запропоноване геометричне представлення (графіки) систем нелінійних рівнянь як і систем параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь (гіперповерхонь) і багатовидів, взагалі, сприятиме удосконаленню методів дослідження таких систем.

Публікації автора:

1. Гумен О.М. Узагальнення кривих Персея-Кассіні / Зб. тез доповідей Міжнародної науково-технічної студентської конференції, Львів, 1998. - с. 101-102.

2. Гумен О.М. Двопорожнинний параболічний параболоїд 4-го порядку / Зб. Прикладна геометрія та інженерна графіка, Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в. 4, т. 18, Мелітополь: ТДАТА, 2003. - с. 108-112.

3. Гумен О.М., Ванін В.В. Гіперболічний двопорожнинний параболоїд 4-го порядку з порожнинами одного напряму та чотирма спільними прямими / Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в. 4, Прикладна геометрія та інженерна графіка, т. 19, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003. - с. 53-58.

4. Гумен О.М. Геометричне представлення параметричних рівнянь кривих ліній / Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в.4, Прикладна геометрія та інженерна графіка, т. 21, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003. - с. 89-92.

5. Гумен О.М. Геометричне представлення параметричних рівнянь поверхонь і багатовидів / Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Львів, - 2003.

6. Гумен О.М. Геометричне розв’язання задач оптимізації за багатьма критеріями одночасно, Праці Таврійської державної агротехнічної академії, в. 4, Прикладна геом. та інж. графіка, т.22, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003, — с. 121-127.

7. Гумен О.М., Гумен М.С. Витягнена та стиснена лемніскати як узагальнення лемніскати Бернуллі: НТУУ “КПІ”, ДНТБ України від 12.03.1996 р., Деп. в УкрІНТЕІ, №737, Ук. 96. - 4 с.

8. Гумен О.М., Гумен М.С. Одне узагальнення овалів Кассіні / Зб. Прикладна геом. та інж. графіка, В. 59, - К.: КГТУСА, 1996. - с. 33-36.

9. Гумен О.М., Гумен М.С. Узагальнені геометричні моделі складних залежностей р функцій q аргументів при впливі всіх аргументів на всі функції / Сб. Трудов Международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”, ч. I, - Мелитополь, 1996. - с. 20 - 21.

10. Гумен О.М., Гумен М.С. Узагальнені геометричні моделі складних залежностей р функцій q аргументів при впливі на функції частини аргументів у різних співвідношеннях / Матеріали Міжнародного наукового симпозиуму “Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка” до 250-річчя з дня народження Гаспара Монжа, Львів, 1996. - с. 13.

11. Гумен М.С., Гумен О.М. До питання класифікації параболоїдів 4-го порядку / Сб. Трудов IV Международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”, ч. 2, - Мелитополь, 1997. - с. 105-109.