Анотація до роботи:

Цехмістро І.І. Філософсько-методологічний аналіз взаємозв’язку першої і другої проблем Гільберта. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата філософських наук за спеціальністю 09.00.09 – філософія науки. – Харківський університет Повітряних Сил імені Івана Кожедуба. – Харків, 2006.

Дисертація присвячена виявленню й аналізу взаємозв'язку першої і другої проблем Гільберта як двох нерозв'язних математичних проблем, що свідчать про кризу методології класичної науки. Дисертація охоплює коло глибоких філософських питань, що лежать у підвалинах зазначених проблем таких, як питання про структуру континуума, проблема нескінченності, проблема істини в математики.

У результаті проведеного дослідження був установлений різнобічний взаємозв'язок першої і другої проблем Гільберта, що виявляється в декількох аспектах. Логічний зв'язок цих проблем виявляється як зв'язок на рівні проблеми доказу несуперечності арифметики натуральних і дійсних чисел і, як реальний приклад справедливості теорем Геделя про неповноту формалізованих систем, унаслідок яких виявилася нерозв'язною друга проблема, а перша проблема своєю нерозв'язністю продемонструвала реальність існування нерозв'язних тверджень у математиці.

Зв'язок першої і другої проблем Гільберта полягає і в тім, що обидві вони свідчать про кризу методології класичної математики і вимагають введення більш гнучких некласичних і постнекласичних методологічних підходів таких, як відмовлення від концепції абсолютної істини на користь концепції плюралізму і введення принципу доповняльності.

1. Дослідження взаємозв'язку першої і другої проблем Гільберта дозволило розкрити тісну спорідненість цих проблем, обумовлену самим їх змістом і націленістю їх на розкриття глибоких філософських питань.

Взаємозв'язок першої і другої проблем Гільберта виникає в двох напрямах: як від першої до другої проблеми, так і навпаки. Постановка першої проблеми Гільберта - питання про потужність континууму як певної множини - має сенс лише постільки, оскільки передбачається здійсненною повна арифметизація континууму, а випробуванням цієї можливості, звичайно, є більш загальне питання: чи можлива у принципі як несуперечлива і завершена досить багата формальна арифметична система? Відповіддю на це питання з'явилася нерозв'язність другої проблеми Гільберта і, як наслідок, встановлення принципової неможливості побудови абсолютно несуперечливої формалізованої системи. Звідси витікає неможливість встановлення абсолютної несуперечності арифметики дійсних чисел, а, отже, і питання про потужність континууму залишається для нас назавжди нерозв’язним.

Зв'язок першої і другої проблем Гільберта виникає також і з прямо протилежного руху ідей, а саме від другої проблеми Гільберта до першої. Якщо доказ абсолютної несуперечності достатньо багатої арифметичної системи натуральних чисел виявляється у принципі неможливим, тобто в ній завжди існує, щонайменше, одне абсолютно нерозв'язне твердження, то це звичайно означає, що і в незрівнянно більш потужній арифметичній системі дійсних чисел, звичайно, знайдеться, щонайменше, одне нерозв'язне тверження. Одним з таких тверджень, природно, є твердження про певну потужність множини континуум.

Дослідження взаємозв'язку першої і другої проблем Гільберта дозволяє узагальнити філософсько-методологічні передумови їх нерозв'язності. Введення поняття актуальної нескінченності як базового поняття математики і побудова шкали нескінченностей Кантором виявилися проблематичними і суперечливими. Проблема нескінченності завжди була таємницею для філософії і науки, і тому використання поняття актуальної нескінченності Кантором як певної даності, як інструменту побудови математичної теорії була приречена на невдачу.

Проблема структури континууму також одна з вічних проблем філософії і науки. Зроблена Кантором невдала спроба отримання структури континууму як деякої нескінченної множини, замикає круг в історії розвитку уявлень про континуум і повертає нас до елейського розуміння його як деякої нерозкладної даності – цілісності.

2. Перша і друга проблеми Гільберта є реальними нерозв'язними твердженнями, існування яких стверджують теореми Геделя про неповноту формалізованих систем. Це означає що математика ніколи не буде завершеною і повною системою знання, що претендує на абсолютну істинність.

Установлена нерозв'язність проблем Гільберта показала, що математика торкається деякого класу гранично загальних задач, що належать не тільки сфері математики, але і філософії. Незважаючи на свій багатий інструментарій математика не здатна їх вирішити.

3. Проведений аналіз нерозв'язності першої і другої проблем Гільберта прямо вказує на те, що ці проблеми можна трактувати як свідчення кризи науки модерну і становлення нового наукового світогляду - світогляду науки постмодерну. Дійсно, те, що обидві ці проблеми були сформульовані в рамках класичної математики, а, отже, у рамках науки модерну, але при цьому не мають вирішення, явно говорить про те, що класична наука продемонструвала обмеженість своїх методів пізнання.

Нерозв'язність континуум-гіпотези свідчить про те, що строго раціональні методи класичної науки, з її претензією на однозначний і вичерпний опис реальності, є недостатніми для опису таких фундаментальних категорій буття як неперервність. Це приводить до необхідності звертання до такого фундаментального принципу некласичної і постнеклассической науки, як принцип доповняльності. Континуум допускає представлення його як множини, але це представлення не є єдиним і вичерпним, як того вимагала наука модерну. Поряд із властивістю «множинності» континууму виникає уявлення про додаткову властивість континууму «бути цілим». Це добре коригується із широким філософським трактуванням принципу доповняльності як доповняльності між раціональними й ірраціональними сторонами дійсності. У проблемі континуума його властивість «бути множиною» доповнюється властивістю «бути цілим».

І, нарешті, нерозв'язність першої і другої проблем Гільберта, явно показують неспроможність головної модерністської установки - одержання абсолютної істини.

4. Розглянутий зв'язок першої і другої проблем Гільберта як свідчення кризи науки модерну дозволяє поставити крапку у філософській дискусії, що спалахнула наприкінці XІX - початку XX століття з проблем обґрунтування математики.

Сьогодні досягнення повного розуміння нерозв'язності першої і другої проблем Гільберта означає усвідомлення безперспективності таких напрямків обґрунтування математики як логіцизм і формалізм. Цим власне і пояснюється те, що ці філософські напрямки дали лише певний технічний внесок у розвиток математики XX століття, стимулювавши дослідження в області штучних мов, символічних числень, інформаційних систем і т.п., породивши тим самим науково-технічну революцію середини XX сторіччя.

Дійсно, теореми Геделя про неповноту формалізованих систем у корені підривають перспективи розвитку і позбавляють, власне кажучи, будь-якого змісту концепції логіцизму і формалізму. Інтуїціоністська концепція математики є більш прогресивної і гнучкою. Воістину пророче інтуїціоністське твердження (Л. Брауэр, Н. Н. Лузін та ін.) «континуум не є множина точок» цілком підтвердилося. Тим самим інтуїціонизм виявився єдиним філософським напрямком, що витримав випробування наступним розвитком математики. Більш того, інтуїціонізм породив конструктивістський напрямок у математиці, засвідчивши тим самим свою продуктивність.

Але головне полягає в тому, що інтуїціоністський напрямок у математиці виявився ефективною концептуальною базою для критики застарілого, «окостенілого» раціоналізму, джерелом більш гнучких сучасних методологічних і світоглядних концепцій, що вдало вписуються у загальну атмосферу кінця XX століття – початку XXI століття.

Публікації автора:

1. Tsekhmistro I. I. To the connection between first and second problems of Hilbert // Journal of Kharkov National University. – Kharkov: KNU. – 2001. – № 505. – P.15-17. (Сумісне видання ХНУ імені В.Н.Каразіна і закладу Education and Degree (Ізраїль)).

2. Цехмистро И. И. К постановке вопроса о связи первой и второй проблем Гильберта // Post Office. Образы времени – Образы мира. Вестник Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина. – Харьков: ТО Эксклюзив. – 2002. – № 571. - С. 138-143.

3. Цехмистро И. И. Искусственный интеллект в свете теорем Геделя о неполноте формализованных систем // Вісник Дніпропетровського університету. Соціологія. Філософія. Політологія. – Дніпропетровськ: РВВ ДНУ. – 2003. –Вип. 9. - С. 68-72.

4. Цехмистро И. И. Основания математики: от классического к неклассическому типу рациональности // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна. Філософські проблеми науки та культури. – Харків: Коло. – 2004. – № 625-1. – С. 38-41.

5. Цехмистро И. И. Постмодернизм и математика // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна. – Харків: ПП «Азамаєв В. Р». – 2006. – № 714. - С. 338-343.

6. Цехмистро И. И. Проблема искусственного интеллекта в свете теорем Геделя о неполноте формализованных систем // Материалы 7-го международного молодежного форума «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке». – Харьков: ХНУРЄ. – 2003. – С. 593.

7. Цехмистро И. И. Истоки постмодернизма в философии математики // Актуальні проблеми філософських, політологічних і релігієзнавчих досліджень. Матеріали міжнародної наукової конференції «Людина – Світ – Культура». – Київ: Центр навчальної літератури. – 2004. – С. 248-249.

8. Цехмистро И. И. Душа, сознание и информация // Матеріали V міжнародної науково-практичної конференції «Людина, Культура, Техніка в новому тисячолітті». – Харків: ХАІ. – 2004. - С. 74-75.