Анотація до роботи:

Пузирьов В.Є. Дослідження стійкості неавтономних механічних систем методом Ляпунова. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню питань стійкості і поводження розв’язків неавтономних механічних систем – як систем загального вигляду, так і певних систем сполучених твердих тіл з пружними шарнірами, а також проблемі впливу дисипативних сил з неповною дисипацією на стійкість руху консервативних систем.

Доведено теореми про оцінку розв'язків неавтономної динамічної системи загального вигляду із застосуванням ідей прямого методу Ляпунова. Знайдено достатні умови еквіасимптотичної стійкості нульового розв'язку такої системи. Отримано умови асимптотичної стійкості і нестійкості для неавтономної системи другого порядку в критичному випадку подвійного нульового кореня з двома групами розв'язків.

Для лінійних періодичних за часом систем з малою правою частиною запропоновано ефективний алгоритм асимптотичного представлення розв'язків і побудови показникової матриці. Отримані результати використовуються в роботі для дослідження питань стійкості руху механічних систем з обертально-коливними рухами у разі, коли відносний коливний рух має малу амплітуду, але велику частоту.

Вивичено вплив, який здійснюють дисипативні сили з неповною дисипацією на стійкість положення відносної рівноваги консервативної механічної системи загального вигляду. Доведені теореми є подальшим розвитком класичних результатів Томсона – Тейта – Четаєва – Сальвадорі у випадку часткової дисипації енергії.

Досліджено питання стійкості руху вагомого симетричного гіроскопа з пружно закріпленим ротором. Встановлено, що вільні коливання ротора в площині, перпендикулярній до осі обертання, можуть привносити стабілізуючий вплив на рух носія.

В диссертаційній работі розв’язана задача узагальнення прямого методу Ляпунова для дослідження питань стійкості і оцінювання розв'язків неавтономних, неперіодичних динамічених систем із застосуванням необмеженої за часом допоміжної функції. Результати використано для отримання умов стійкості відносних станів рівноваги різних механічних систем. Також доведено теореми про асимптотичну стійкість і нестійкість рухів неконсервативних механічних систем с частковою дисипацією енергії. Ці результати використано для розв'язання задачи пасивної стабілізації маятника, що обертається, і знаходження умов стійкості обертань симетричного твердого тіла з пружно закріпленим ротором.

Серед основних результатів роботи відзначимо слідуючі:

1. Доведено теореми про оцінки поведінки розв'язків неавтономної динамичної системи загального вигляду з застосуванням необмеженої за часом функції Ляпунова. Знайдено умови эквіасимптотичної стійкості нульового розв'язку такої системи. Доведено теорему про стійкість за лінійним наближенням. Як приклад розглянуто питання асимптотичної стійкості стану рівноваги маятника с тертям, що залежить від часу. Отримані умови накладають більш слабкі обмеження у порівнянні з відомими аналогічними результатами різних авторів (R.J. Ballieu і K. Peiffer , J.L. Corne , L. Hatvani, J. Karsai і J.Graef, N. Rouche та ін.).

2. Вперше отримано умови асимптотичної стійкості и нестійкості неавтономної системи другого порядку в критичному випадку подвійного нульового кореня с двома групами розв'язків. Запропонований підхід може бути основою для розповсюдження існуючого способу побудови функції Ляпунова для автономних і періодичних систем на випадок неперіодичних систем більш високого порядку.

3. Для лінійних періодичних за часом систем із малою правою частиною запропоновано ефективний алгоритм асимптотичного зображення розв'язків і побудови показникової матриці.

4. Отримані результати використано для дослідження проблеми стійкості в різних системах двох сполучених твердих тіл. Так, вперше одержані умови стійкості стану відносної рівноваги дволанкового маятника з однією пружною ланкою, в якому одна із ланок маятника спрямована вниз, а інша – уверх. Вивчена ситуація є своєрідним "виворотом" відомого явища розхитування маятника, коли обидві ланки спрямовані вниз, в областях параметричного резонансу (В.М. Старжинський, В.А. Якубович та ін.). Вперше отримано умови стійкості обертань вагомого несиметричного гіроскопа на пружній основі, а також гіростата, вісь ротора якого закріплена в носії за допомогою пружного телескопічного шарніру.

5. Знайдено умови стійкості різних типів руху системи двох гіроскопів Лагранжа, що утворюють напівзамкнений ланцюг і сполучені пружним універсальним шарніром.

6. Розв’язано задачу стійкості для лінійної механічної системи, що знаходиться під дією потенціальних, гіроскопічних і дисипативних (з неповною дисипацією енергії) сил. Запропонованний підхід видається більш простим і зручним для застосування, ніж аналогічний результат

Г.К. Пожарицького, оскільки дозволяє працювати з "розщепленою" системою.

7. Досліджено вплив дисипативних сил с неповною дисипацією енергії на стійкість положення відносної рівноваги консервативної механиченої системи з позиційними і циклічними координатами. Доведені теореми розповсюджують класичні результати Томсона – Тейта – Четаєва (с додаванням Сальвадорі) на випадок неповної дисипації.

8. Розв’язано задачу пасивної стабілізації фізичного маятника, що обертається. Виявлено припустимі параметри стабілізуючого пристрою, які вирішують поставлену задачу.

9. Досліджено питання стійкості руху симетричного гіроскопа з пружно закріпленим ротором. Встановлено, що коливання ротора в площині, перпендикулярній до вісі обертання, можуть сприяти стабілізації руху носія.

Публікації автора:

1. Пузырев В.Е. Одна теорема об асимптотической устойчивости по первому приближению // Мат. физика и нелин. механика. – 1988. – Вып.10 (44). – С. 25 – 29.

2. Puzyrev V.E. On some special auxiliary functions in stability theory of motion // Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. Qualitative theory of diff. equations – 53. – North Holland, 1989. – P. 531 – 544.

3. Пузырев В.Е. О движении симметричного гиростата с осциллирующим маховиком // Механика. твердого тела. – 1992. – Вып.24. – С. 92 – 95.

4. Пузырев В.Е. До питання про оцiнку поведiнки розв'язкiв неавтономних систем // Український матем. журнал. – 1995. – 47, № 2. – С. 242 – 249.

5. Пузырев В.Е. Об асимптотическом поведении решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Матем. моделирование. – 1995. – 7, № 5. – С. 95.

6. Пузырев В.Е. Анализ необходимых условий устойчивости равномерных вращений гироскопа Лагранжа с колеблющимся ротором // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. – С. 49 – 54.

7. Пузырев В.Е. К устойчивости по Ляпунову неавтономной системы в критическом случае двух нулевых корней с двумя группами решений // Доповiдi НАН України. – 1998. – № 3. – С. 39 – 43.

8. Пузырев В.Е. Об асимптотическом представлении решений системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами с малой правой частью // Механика твердого тела. – 1998. – Вып. 29. – С. 71 – 76.

9. Пузырев В.Е. Об устойчивости равномерных вращений тяжелого гироскопа на упруго закрепленном основании // Механика твердого тела. –1998. – Вып. 29. – С. 106 – 110.

10. Веласко Г.Э., Пузырев В.Е. Об устойчивости движения системы двух гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Труды ИПММ НАН Украины. – 1998. – Т. 2. – С. 17 – 21.

11. Пузырев В.Е. Об устойчивости движения одной механической системы с упругой связью // Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 26 (1). – С. 49 – 54.

12. Пузырев В.Е. Об устойчивости равномерных вращений симметричного гиростата на колеблющемся основании // Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 28. – C. 88 – 91.

13. Лосева Н.Н., Пузырев В.Е. Об устойчивости регулярной прецессии системы двух гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С.169 – 176.

14. Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Об устойчивости равномерных вращений вокруг наклонной оси твердого тела с маховиком // Труды ИПММ НАН Украины. – 2000. – Т. 5. – C. 122 – 126.

15. Пузырев В.Е. Об устойчивости положения относительного равновесия двухзвенного математического маятника переменной длины // Механика твердого тела. - 2001. – Вып. 31. – С. 90 – 95.

16. Лосева Н.Н., Пузырев В.Е. Об устойчивости в первом приближении равномерных вращений системы двух гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Труды ИПММ НАН Украины. – 2001. – Т.7. – С. 134 – 139.

17. Пузырев В.Е. Об устойчивости стационарных движений механических систем с неполной диссипацией энергии // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 99 – 104.

18. Пузырев В.Е. Пассивная стабилизация движения вращающегося маятника // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 99 – 104.

19. Пузырев В.Е. Об устойчивости решения линейной автономной системы, находящейся под действием сил сопротивления с неполной диссипацией энергии // Труды ИПММ НАН Украины. – 2003. – Т. 8. – С. 101 – 105.

20. Пузырев В.Е. Влияние сил вязкого трения на устойчивость стационарных движений механических систем при наличии частичной диссипации энергии // Доповіді НАН України. – 2004. – № 8. – С. 61 – 65.

21. Пузырев В.Е. О пассивной стабилизации движения вращающегося маятника в критическом случае // Труды ИПММ НАН Украины. – 2004.—Т. 9. – С. 156 – 160.

22. Пузырев В.Е. Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 100 – 107.

23. Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Устойчивость положения относительного равновесия стержневой системы, содержащей вращающийся ротор // Труды ИПММ НАН Украины. – 2005. – Т. 10. – C. 151– 157.

24. Пузырев В.Е. Анализ условий устойчивости равномерных вращений тяжелого гироскопа на упруго закрепленном основании // Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 124 – 127.

25. Puzyrev V.E. Use of auxiliary functions of one class in stability theory of motion. 3rd Colloquium on the Qualitative theory of diff. equations. Abstracts. – Szeged, 1988. – P. 18.

26. Puzyrev V.E. Non-uniform asymptotic stability and Liapunov's direct method. 7-th Czechoslovak Conference on Diff. Eq. and their Appl. Abstracts. – Praga, 1989. – II. – P. 30.

27. Пузырев В.Е. К устойчивости движения симметричного волчка с колеблющимся маховиком. Препринт. Ин-т прикл. мат. и мех. НАН Украины. – Донецк, 1992. – 78 c.

28. Puzyrev V.E. Liapunov direct method and solutions behaviour estimations. 8-th Czecho-Slovak Conference on Diff. Eq. and their Appl. Add. Abstr. – Bratislava, 1993. – P. 18.

29. Лосева Н.Н., Пузырев В.Е. Нахождение областей параметрического резонанса в задаче об устойчивости равномерных вращений симметричного гироскопа с подвижной точечной массой. Труды межд. конф. "Математика в индустрии". – Таганрог, 1998. – С. 223 – 225.

30. Пузырев В.Е. Устойчивость равномерных вращений тяжелого гироскопа на колеблющемся основании при наличии диссипативной силы. Там же. – С. 258 – 261.

31. Puzyrev V.E. Stability of non-stationary motions of mechanical systems with partial energy dissipation // 7-th Conference on dynamical systems: Theory and applications. – Lodz, Poland, December 8 – 10, 2003. – P. 375 – 382.