Анотація до роботи:

Денисенко О.М. Дослідження множин стійкості та нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертація присвячена вивченню резонансних явищ одновимірного стацаонарного рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним потенціалом. З використанням методів КАМ-теорії досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами або швидкістю росту похідних.. Побудовано межі зон нестійкості та описано множину значень енергії, на якій рівняння має розв’язки у вигляді блохівських функцій. Встановлено аналітичність за малим параметром меж резонансних зон. Показано, що межі зон нестійкості можна визначати у вигляді збіжних розвинень за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі квазіперіодичних функцій з половинним частотним базисом. Для опису зазначених розкладів у випадку потенціалу, що є дійсним тригонометричним многочленом скінченного порядку, використана діаграмна техніка.

У дисертації досліджено метричні властивості множин стійкості, точкам яких відповідають блохівські розв’язки, а також структуру резонансних множин для одновимірного стаціонарного квазіперіодичного рівняння Шредінгера та одновимірної стаціонарної квазіперіодичної системи Дірака з малим параметром. Основні результати даної роботи такі:

Синтезуючи три методи КАМ-теорії Ї метод прискореної збіжності, метод Мозера аналітичного згладжування та модифікації Севрюка-Ермана методу штучних параметрів — досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами. Запропонований підхід дозволяє описувати множину значень енергії, на якій рівняння має розв’язки у вигляді блохівських функцій, будувати ці розв’язки та визначати межі резонансних зон. Одержано оцінки розмірів зон нестійкості рівняння Шредінгера з аналітичним потенціалом, потенціалом у вигляді дійсного тригонометричного полінома скінченого порядку та нескінченно диференційовними потенціалами, що належать класам Жевре та Данжуа.

Встановлено властивість аналітичності за малим параметром меж резонансних зон для рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним (з базисом частот ) потенціалом, що відкриває шлях до побудови цих меж у вигляді збіжних розвинень. Обґрунтовано можливість неформального розповсюдження методу і результатів В.І.Арнольда побудови меж зон нестійкості для рівняння типу Мат’є на квазіперіодичний випадок. Зокрема показано, що за аналогією з періодичним випадком межі зон нестійкості можна визначати у вигляді збіжних розвинень за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі квазіперіодичних функцій з вектором частот . Це у порівнянні з КАМ-методами значно полегшує процедуру визначення меж резонансних зон при розв’язуванні практичних задач.

Показано, що описані в даній роботі методи досліджень квазіперіодичного рівняння Шредінгера можна використовувати для досліджень одновимірної стаціонарної квазіперіодичної системи Дірака, а результати, одержані для рівняння Шредінгера, можуть бути відповідним чином перенесені на цю систему.

Публікації автора:

1. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіперіодичним потенціалом // Вісник Київського університету. Математика. Механіка. 2003. Вип 9. С. 18 24.

2. Денисенко О.М., Парасюк І.О. Побудова розв’язків Флоке-Блоха і оцінка довжин резонансних зон одновимірного рівняння Шредінгера з гладким потенціалом // Укр. мат. журн. 2004. 56, №1 С. 3 18 .

3. Денисенко О.М. Оцінка розмірів резонансних зон одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіаналітичним квазіперіодичним потенціалом // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. 2004. Вип. 1 . С. 87 96.

4. Денисенко О.М., Парасюк І.О. Побудова границь зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом //Нелінійні коливання – 2007. 10, №1 – С.83-92.

5. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потенціалом // Нелінійні коливання – 2007. 10, №2 – С. 188-203.

6. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості стаціонарного рівняння Шредінгера // Дев’ята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М.Кравчука, 16 19 травня 2002 року, Київ. С.61.

7. Denysenko O.M., Parasyuk I.O. Estimation of resonance zones for a one-dimensional Schrцdinger equation with a smooth quasiperiodic potential // Міжнародна наукова конференція “Шості Боголюбівські читання”, 26 30 серпня. Тези доповідей. Київ, 2003. С. 272.

8. Денисенко О.М. Оцінка розмірів резонансних зон одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіаналітичним квазіперіодичним потенціалом // Десята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М.Кравчука, 13 15 травня 2004 року, Київ. С. 96.

9. Denysenko О.М. Diagram approach to instability zones construction for quasi-periodic Schrцdinger equation with trigonometric potential // 6th International Algebraic Conference in Ukraine, Kamyanets-Podilsky, July 1-7, 2007, P.58-59.

Анотації