Анотація до роботи:

Коломієць П. С. Бішубертівські багатовиди. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Інститут математики Національної Академії Наук України, Київ, 2008.

В дисертації вводиться та досліджується новий об’єкт алгебраїчної геометрії - бішубертівський багатовид, який вводиться за аналогією зі звичайним Шубертівським багатовидом, але із використанням двох визначальних прапорів “загальної” форми, таких, що жоден підпростір із одного прапору не міститься повністю в жодному підпросторі іншого прапору і навпаки. Доводиться звідність таких багатовидів, знаходяться їхні незвідні компоненти, їхнє число та розмірності. Також доводиться раціональність незвідних компонент.

Далі розглядається випадок, коли один із прапорів складається лише із одного підпростору, так як він є якісно простішим за інші випадки. Для нього знаходяться рівняння незвідних компонент в Грассманніані, на основі чого доводиться, що вони не є множинними повними перетинами. Також знаходиться структура взаємного розміщення незвідних компонент та всіх їх перетинів, яка виявляється має гарну форму.

В дисертації також вивчаються питання регулярності/особливості точок компонент. Доводиться, що вже у найпростіших випадках вони можуть містити особливі точки. Наостанок незвідні компоненти найпростішого бішубертівського багатовиду, чиї визначальні прапори містять лише по одному підпростору, розкладаються у Шубертовому базисі.

Основним результатом дисертаційної роботи є введення та дослідження властивостей нового об’єкту – бішубертівського багатовиду, що є узагальненням звичайного Шубертівського багатовиду.

Було проведено дослідження звідності-незвідності введених бішубертівських багатовидів. Виявилось, що вони є завжди звідними. Були знайдені всі їхні незвідні компоненти. Кожній незвідній компоненті співставлялась таблиця з числами, що задовольняла певним умовам, і навпаки, кожній такій таблиці співставлялась незвідна компонента. Ця відповідність є взаємно однозначною. Використовуючи її, була порахована кількість незвідних компонент в багатовиді, порахована їхня розмірність і доведена їхня раціональність. Було також доведено, що кожній незвідній компоненті відповідає деяка “велика” орбіта, що є щільною в ній.

Була розглянута задача знаходження мінімальної системи визначальних рівнянь незвідних компонент в Грассманніані. Виявилось, що випадки n2 якісно відрізняються від випадку n=1 в складнішу сторону, тому рівняння були отримані тільки для останнього. Виявилось, що всі вони мають просту форму вигляду X_k1,…,kd = 0, де X_k1,…,kd позначає плюккерову координату d-вимірного підпростору в K^h для набору цілих чисел (k₁,…,k_d), де 1k₁< k₂<…<k_dh.

На основі отриманих визначальних рівнянь була зроблена оцінка їхньої кількості, і в результаті був зроблений висновок, що всі незвідні компоненти всіх бішубертівських багатовидів не є множинними повними перетинами.

Було розглянуте питання перетинів незвідних компонент. Так як це дослідження робилось на основі визначальних рівнянь, то, знову ж, розглядався тільки випадок n=1. Виявилось, що всі перетини є різними, і для кожного перетину існує деяка єдина орбіта, яка є щільною в ньому.

Використовуючи рівняння Грассманніана і отримані рівняння незвідних компонент в ньому, було досліджене питання регулярності/особливості точок. Вже для m=n=1 виявилося, що майже завжди (за винятком деяких специфічних випадків) незвідні компоненти відповідного бішубертівського багатовиду містять особливі точки. Було також перевірено декілька випадків для m=2, n=1 і ситуація виявилась аналогічною. Тому видається цілком логічним, що така ж історія буде і для більш складних бішубертівських багатовидів.

Також був знайдений розклад незвідних компонент бішубертівського багатовиду в Шубертівському базисі в мультиплікативному сенсі для найпростішого випадку m=n=1. Виявилось, що одна з двох компонент відповідного бішубертівського багатовиду рівна одному Шубертівському багатовиду з коефіцієнтом 1, а друга рівна сумі декількох Шубертівських багатовидів з одиничними коефіцієнтами.

Результати дисертації є новими і не мають аналогів у сучасній науковій літературі:

Публікації автора:

1. Коломієць П.С. Деякі факти про бішубертівські багатовиди // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні науки. – 2006. – 4 – С. 38-47.

2. Коломієць П.С., Дрозд Ю.А. Перетини незвідних компонент бішубертівських багатовидів // "Проблеми топології та суміжні питання", збірник праць Інституту математики НАНУ. – 2006. – т.3, №3. – С. 180-200.

3. Drozd Y.A., Kolomiets P.S. On some generalization of Schubert’s varieties// Computational Commutative and Non-Commutative Algebraic Geometry. NATO Science Series III: Computer and Systems Sciences. – 2005. – Vol.196 – P. 79-89.