Анотація до роботи:

Асимптотичні задачі статистики для дискретних розподілів. Рукопис. Дисертація на здодуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05.–Теорія ймовірностей та математична статистика. Інститут прикладної математики та механіки НАН України. Донецьк, 2003.

У дисертації отримані такі результати.

Встановлено граничні теореми про поведінку відповідних інтегралів Хелінгера, які вказують умови вірності теорем про великі відхилення.

Доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в задачі розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями бернулієвських послідовностей та процесами Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Досліджено поведінку ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона, коли вірні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності у задачі розрізнення бернулієвських послідовностей та процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Досліджено взаємозв’язок між швидкостями спадання ймовірностей помилок 1-го і 2-го роду та ризиків байєсовських і мінімаксних критеріїв у випадку, коли виконуються теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібностей.

В дисертації доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності щодо статистичних експериментів, які породжуються бернуліївськими послідовностями та процесами Гальтона-Ватсона з іміграцією, в задачі перевірки статистичних гіпотез. Розв’язання цієї задачі зведено до пошуку перетворення Лежандра-Фенхеля деяких опуклих функцій та розв’язанню відповідних функціональних рівнянь.

Обгрунтовано граничні теореми про поведінку інтегралів Хелінгера, які вказують умови справедливості теорем про великі відхилення для різних схем бернуліївських спостережень та для процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією. Знайдено нові типи функцій , які поповнили відомий до цього клас цих функцій для інших схем спостережень. У розглянутих випадках вдалось розв’язати задачу до кінця у сенсі обчислення характеристик швидкостей спаданняй мовірностей помилок критеріїв Неймана-Пірсона, байєсівських і мінимаксних.

Отримані в дисертації формули та граничні теореми для інтегралів Хелінгера можуть використовуватись у задачі перевірки складних гіпотез, у задачі оцінювання невідомих параметрів у випадку спостережень послідовностей бернуліївських випадкових величин та для процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Основні положення дисертації опубліковані в роботах:

1. Lin’kov Yu. N., Lunyova L. A. Large deviation theorems in the testing problems for the Bernoulli sequences // ROSE – 1995. – 3, №3. – P.231-243.

2. Lin’kov Yu.N., Lunyova L.A. Large deviation theorems in the hypotheses testing problems for the Galton-Watson processes with immigration // Theory Stoch. Processes. – 1997. – 3(19), no.
1-2. – P. 270-285.

3. Линьков Ю.Н., Гладкова Л.А. Теоремы о больших уклонениях в задаче различия бернуллиевских последовательностей. – Препринт №-02.-1. – Донецк: ИПММ НАНУ. 2002. 28с

4. Линьков Ю.Н., Гладкова Л.А. Теоремы о больших уклонениях в задаче различия бернуллиевских последовательностей // Труды ИПММ НАН Украины, 2002, т.7, с.115-133.

5. Гладкова Л.А. Теоремы о больших уклонениях в задаче различия близких процессов Гальтона-Ватсона. // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. –2002.–№2.–с.72-88.

6. Lin’kov Yu.N., Lunyova L.A. Medvedeva M.I., Shevliykov Yu.A., Vasilenko O.A. Large deviations in hypotheses testing problems for processes with independent increments // I Ukr.-Scan. Conf in Math. Stat. (Uzhgorod, Ukraine, 30.09-06.10.95). – Abstract.– p.57.

7. Линьков Ю.Н., Лунева Л.А. Большие уклонения в задаче различия бернуллиевских последовательностей// II-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 18-25.12.95) Тез. Докл. – М.: ТВП, 1995. с.88-89.

8. Линьков Ю.Н., Лунева Л.А. Большие уклонения в задаче различия процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией// III-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Туапсе , 17-24.09.96). – Тез. Докл. – М.: ТВП, 1996. С.105-106.

9. Lin’kov Yu. N., Lunyova L. A. Large deviation in testing problems for Galton-Watson processes with immigration// II Scand.–Ukr. Conf in Math. Stat. (Umea, Sweden, 8-13.07.97). – Abstract.–p.59.

10. Щербакова Л.А. Теоремы о больших уклонениях для процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией //Донецкий коллоквиум “Вероятность и статистика” посвященный 80-летию И.И. Гихмана. (Донецк, Украина, 24-27.98). –Тез. Докл. – Донецк. МЧП “ЛИК”, 1998. С.44-46.

11. Gladkova L.A. Large deviation in testing problems for near Galton-Watson processes with immigration// International Summer Seminar “Stochastic Dynamical Systems”. (Sudak, Crimea, Ukraine 30.05-3.06.03).– Abstract.–2003.–P.12.