Анотація до роботи:

Самойленко І.В. Аналітична теорія марковських випадкових еволюцій в Rⁿ. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України. Київ, 2001.

З усіх підходів до вивчення випадкових еволюцій асимптотичний є найбільш розвинутим. Однак становлять інтерес і аналітичні, дограничні, характеристики. Дисертація присвячена дослідженню аналітичних характеристик марковських випадкових еволюцій в Rⁿ. Знайдені пряма і зворотна системи диференціальних рівнянь Колмогорова для функцій від марковських випадкових еволюцій. Виписано гіперпараболічні рівняння високого порядку для функцій від марковських випадкових еволюцій – аналоги телеграфного рівняння – і запропоновано два методи їх розв’язування: розвинення в ряд у випадку дійсно-аналітичних початкових умов і зведення до еквівалентного інтегрального рівняння. Введено і досліджено поняття затухаючої марковської випадкової еволюції в Rⁿ, яка моделює рух частинки під дією зовнішньої сили.

Дисертаційна робота присвячена вивченню аналітичних характеристик процесу марковської випадкової еволюцій в Rⁿ, який узагальнює модель Гольдштейна-Каца руху частинки на прямій. У роботі отримано наступні результати:

1. Виписано системи прямих і зворотних диференціальних рівнянь Колмогорова, що їх задовольняють функції від марковських випадкових еволюцій в Rⁿ, і доведено теорему про слабку збіжність мір, породжених процесом марковської випадкової еволюції, до міри вінерового процесу.

2. Виписано гіперпараболічні рівняння, що їх задовольняють функції від марковських випадкових еволюцій в Rⁿ, і запропоновано ймовірнісний метод розв'язування цих рівнянь: _{розв'язок задачі Коші з дійсно-аналітичними початковими умовами.}

_{3. Гіперпараболічні рівняння високого порядку зведено до еквівалентних інтегральних рівнянь, які є рівняннями Вольтерра II роду і мають, відповідно, єдиний розв'язок, зокрема виписано інтегральне рівняння, еквівалентне задачі Коші для телеграфного рівняння.}

_{4. Введено поняття затухаючої марковської випадкової еволюції в Rn, яка моделює рух частинки під дією зовнішньої сили, коли швидкість руху зменшується з часом. Цей процес, на відміну від марковської випадкової еволюції, має граничний розподіл при , який знайдено в явному вигляді.}

_{5. Для функцій від затухаючої марковської випадкової еволюції отримано відповідні нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними та еквівалентні нелінійні інтегральні рівняння, для яких доведено існування єдиного розв’язку.}

Публікації автора:

1. Турбин А.Ф., Самойленко И.В.Вероятностный метод решения телеграфного уравнения с вещественно-аналитическими начальными условиями // Укр. мат. журн. --- 2000.--- № 8. --- С. 1127-1134.

2. Самойленко И.В. Моменты марковских случайных эволюций // Укр. мат. журн. --- 2001. --- №7. --- С. 1002-1008.

3. Samoilenko I.V. Markovian random evolution in Rⁿ // Rand. Operat. and Stoc. Equat. --- 2001. --- №2. --- P. 139-160.