Анотація до роботи:

Андрійчук В.І. Алгебраїчні многовиди та поля алгебраїчних функцій над псевдоскінченними полями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Доведено, що для поля алгебраїчних функцій від однієї змінної з псевдоскінченним полем констант виконується закон взаємності, а його група Брауера має, в основному, ті ж властивості, що і група Брауера глобального поля. Показано, що при певних обмеженнях групи Брауера полів раціональних функцій над псевдоглобальними полями не залежать від степеня трансцендентності поля функцій. Виявляється також, що скінченновимірні центральні прості алгебри над псевдоглобальним полем K є циклічними, причому для них індекс збігається з експонентою. Використовуючи ці результати, обчислені когомології Галуа алгебраїчних торів та скінченних модулів над псевдоглобальними полями.

Одержані результати про групу Тейта-Шафаревича алгебраїчного тора над псевдоглобальним полем застосовуються до дослідження принципу Гассе для не обов'язково нормальних розширень псевдоглобального поля.

Доведені теореми двоїстості в етальних когомологіях кривих та алгебраїчних многовидів над квазіскінченними та псевдоскінченними полями і одержані деякі застосування цих результатів до вивчення груп Брауера. У деяких випадках одержано аналоги результатів К.Като з теорії полів класів n-вимірних локальних полів та результатів Ж.-К. Дуе про алгебраїчні криві над n-вимірними локальними полями.

Доведена невиродженість зліва добутку Тейта – Шафаревича в еліптичних кривих над псевдолокальними полями.

У дисертацiї побудована теорія полів класiв для полів алгебраїчних функцій від однієї змінної з псевдоскінченним полем констант. Доведено, що для таких полів вiрний aналoг теореми щiльностi Чеботарьова. Це дає потужний iнструмент для вивчення групи Брауера псевдоглобального поля тагруп Брауера полів раціональних функцій над псевдоглобальними полями.

Побудована теорія полів класiв використовується до вивчення скінченновимірних центральних простих алгебр над псевдоглобальним полем. Доведенo, що вони є циклічними, причому для них індекс збігається з експонентою.

У дисертацiї обчислені когомології Галуа алгебраїчних торів та скінченних модулів над псевдоглобальними полями. Встановлено, що основні когомологічні властивості цих об'єктів залишаються в силі при переході від глобального до псевдоглобального поля визначення. Одержані результати про групу Тейта-Шафаревича алгебраїчного тора над псевдоглобальним полем. Цi результати застосовуються до дослідження принципу Гассе для не обов'язково нормальних розширень псевдоглобального поля. Встановленi властивостi алгебраїчних торів над псевдоглобальними полями дозволяють довести двоїстiсть ядер гомоморфiзмiв локалiзацiї в когомологіях Галуа скінченних модулів над псевдоглобальними полями.

Доведені у дисертацiї теореми двоїстості в етальних когомологіях кривих та алгебраїчних многовидів над квазіскінченними та псевдоскінченними полями вiдкривaють шлях до побудови теорiї полів класiвдля цих многовидів. У дисертацiї розглядaються застосування цих результатів до вивчення груп Брауера алгебраїчних поверхонь над квазіскінченними та псевдоскінченними полями .

У деяких випадках одержано аналоги результатів К.Като з теорії полів класів n-вимірних локальних полів та результатів Ж.-К. Дуе про алгебраїчні криві над n-вимірними локальними полями.

Зoкремa, для алгебраїчнoї кривoї X над n-вимірним псевдолокальним полeм (n 3) доведена двоїстість в етальних когомологіях H¹(X,m_p) та Hⁿ⁺²(X,m_p), дe m_p - пучoк кoрeнiв p-гo степеня з 1, p не дiлить характериcтику oстанньoго поля лишкiв. Встановленo icнування точнoї поcлiдoвнocтi Тейта - Пуaту для когомологій скінченних модулів над псевдоглобальними полями.

Доведена невиродженість зліва добутку Тейта – Шафаревича в еліптичних кривих над псевдолокальними полями з характериcтикою 2 абo 3 поля лишкiв.